Wie finden Sie die Grenze von # sin ^ 2x / x #, wenn sich x 0 nähert? Antworten: #0# Erläuterung: Kennen Sie die folgende Grenzidentität: #lim_(xrarr0)sinx/x=1# Wir können die gegebene Funktion umschreiben, damit wir die Tatsache nutzen können, dass #lim_(xrarr0)sinx/x=1#. Die neu geschriebene Frage lautet #lim_(xrarr0)sin^2x/x# Beachten Sie, dass wir isolieren können #sinx/x# davon. … Weiterlesen
Wie finden Sie das Taylor-Polynom dritten Grades für #f (x) = ln x #, zentriert bei a = 2? Antworten: #ln(2)+1/2(x-2)-1/8(x-2)^2+1/24(x-2)^3#. Erläuterung: Die allgemeine Form einer Taylor-Expansion mit dem Schwerpunkt #a# einer analytischen Funktion #f# is #f(x)=sum_{n=0}^oof^((n))(a)/(n!)(x-a)^n#. Hier #f^((n))# ist die n-te Ableitung von #f#. Das Taylor-Polynom dritten Grades ist ein Polynom, das aus den … Weiterlesen
Wie beurteilen Sie das Integral # (1 + tan (x)) ^ 3 * s ^ 2 (x) dx # innerhalb des Bereichs [0, pi / 4]? Guck mal:
Was ist der Mittelpunkt Riemannsumme? Ich gehe davon aus, dass Sie die allgemeine Idee für eine Riemann-Summe kennen. Es ist wahrscheinlich am einfachsten, ein Beispiel zu zeigen: Für das Intervall: #[1,3]# und für #n=4# wir finden #Delta x# wie immer für Riemann-Summen: #Delta x = (b-a)/n = (3-1)/4 = 1/2# Jetzt sind die Endpunkte der … Weiterlesen
Was ist das Antiderivativum von #tan (x) #? Erinnern: #int{g'(x)}/{g(x)}dx=ln|g(x)|+C# (Sie können dies durch Ersetzen überprüfen #u=g(x)#.) Betrachten wir nun das veröffentlichte Antiderivativ. An der Identität des Triggers #tan x={sin x}/{cos x}#, #int tan x dx=int{sin x}/{cos x}dx# indem Sie es ein wenig weiter umschreiben, um es an das obige Formular anzupassen, #=-int{-sin x}/{cos x}dx# … Weiterlesen
Was ist die Ableitung von # sin ^ -1 (x) #? Antworten: #1/sqrt(1-x^2)# Erläuterung: Lassen #y=sin^-1x#, so #siny=x# und #-pi/2 <= y <= pi/2# (Nach der Definition des inversen Sinus). Nun differenziere implizit: #cosy dy/dx = 1#, so #dy/dx = 1/cosy#. weil #-pi/2 <= y <= pi/2#, Wir wissen das #cosy# ist positiv. So bekommen … Weiterlesen
Wie finden Sie das Integral von #int cos ^ 2theta #? Antworten: Verwenden Sie die Doppelwinkelformel für Cosinus, um den Exponenten zu reduzieren. Erläuterung: #cos(2theta) = 2cos^2theta -1# So #cos^2theta = 1/2(1+cos(2theta))# Daher ist das Integral #int cos^2theta d(theta)=int 1/2*(1+cos2theta) (d theta)= theta/2+1/4*sin2theta+c#
Wie stellt man die Funktion # y = arctan (x) # grafisch dar? #arctan(tan(x)) = x# Wenn wir eine Tabelle mit typischen erstellen #x# und #tan(x)# Werte und ändern Sie dann die Bezeichnungen: Zeichnen Sie die (geänderte Bezeichnung) Tabelle und du solltest etwas wie: graph {arctan (x) [-6.24, 6.247, -3.12, 3.12]}
Was ist die Steigung der Tangente an den Graphen von # y = ln (x / 2) # bei x = 4? Antworten: #y=1/4x-1+ln(2)# Erläuterung: Ermitteln Sie zunächst den Punkt, an dem die Tangentenlinie unterbrochen werden soll, indem Sie sie einstecken #x=4#. #y=ln(4/2)=ln(2)# Der Tangentialitätspunkt ist #(4,ln(2))#. Differenzieren #y# wird einfacher, wenn wir die folgende … Weiterlesen
Was ist die Taylor-Serie von # xe ^ x #? Antworten: # xe^x = x + x^2 + x^3/(2!)+x^4/(3!) + x^5/(4!) + … # # = sum_(n=0)^oo x^(n+1)/(n!) # Erläuterung: Wir können mit der bekannten Maclaurin-Serie für beginnen #e^x# # e^x = 1 + x + x^2/(2!)+x^3/(3!) + x^4/(4!) + … # # = sum_(n=0)^oo … Weiterlesen