Was ist die Steigung der Tangente an den Graphen von # y = ln (x / 2) # bei x = 4?

Ermitteln Sie zunächst den Punkt, an dem die Tangentenlinie unterbrochen werden soll, indem Sie sie einstecken #x=4#.

#y=ln(4/2)=ln(2)#

Der Tangentialitätspunkt ist #(4,ln(2))#.

Differenzieren #y# wird einfacher, wenn wir die folgende Logarithmusregel anwenden:

#ln(a/b)=ln(a)-ln(b)#

So können wir die Funktion neu definieren als

#y=ln(x)-ln(2)#

Wenn wir das unterscheiden, erinnern wir uns daran #ln(2)# ist eine Konstante und kann ignoriert werden. Somit ist die Ableitung von #y# ist gleichbedeutend mit nur der Ableitung von #ln(x)#, Das ist #1"/"x#.

#y'=1/x#

Die Steigung der Tangente ist gleich dem Wert der Ableitung, wenn #x=4#, Das ist

#y'=1/4#

Wir wissen, dass die Tangente eine Steigung hat #1"/"4# und geht durch den Punkt #(4,ln(2))#. Diese können als Linie in Punkt-Steigung-Form verknüpft werden:

#y-ln(2)=1/4(x-4)#

Welches kann als umgeschrieben werden

#y=1/4x-1+ln(2)#

Dargestellt sind die Funktion und ihre Tangentenlinie:

graph{(y-ln(x/2))(y-ln(2)-(x-4)/4)=0 [-2.48, 13.32, -4.53, 3.37]}