Wie finden Sie das Taylor-Polynom dritten Grades für #f (x) = ln x #, zentriert bei a = 2?

Antworten:

#ln(2)+1/2(x-2)-1/8(x-2)^2+1/24(x-2)^3#.

Erläuterung:

Die allgemeine Form einer Taylor-Expansion mit dem Schwerpunkt #a# einer analytischen Funktion #f# is #f(x)=sum_{n=0}^oof^((n))(a)/(n!)(x-a)^n#. Hier #f^((n))# ist die n-te Ableitung von #f#.

Das Taylor-Polynom dritten Grades ist ein Polynom, das aus den ersten vier (#n# von #0# zu #3#) hinsichtlich der vollständigen Taylor-Erweiterung.

Daher ist dieses Polynom #f(a)+f'(a)(x-a)+(f''(a))/2(x-a)^2+(f'''(a))/6(x-a)^3#.

#f(x)=ln(x)#, deshalb #f'(x)=1/x#, #f''(x)=-1/x^2#, #f'''(x)=2/x^3#. Das Taylor-Polynom dritten Grades ist also:
#ln(a)+1/a(x-a)-1/(2a^2)(x-a)^2+1/(3a^3)(x-a)^3#.

Jetzt haben wir #a=2#Also haben wir das Polynom:
#ln(2)+1/2(x-2)-1/8(x-2)^2+1/24(x-2)^3#.

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