Wie finden Sie die Ableitung von #ln (4x) #? Antworten: Es ist #1/x#. Erläuterung: #ln(4x)# ist eine zusammengesetzte Funktion, die sich aus den Funktionen zusammensetzt #lnx# und #4x#. Aus diesem Grund sollten wir das verwenden Kettenregel: #dy/(dx) = (dy)/(du) (du)/dx# Das wissen wir schon #(lnx)‘ = 1/x#. Wir möchten also, dass das, was im natürlichen … Weiterlesen
Die Population y wächst nach der Gleichung dy / dx = ky, wobei k konstant ist und t in Jahren gemessen wird. Wenn sich die Population alle 10 Jahre verdoppelt, wie hoch ist dann der Wert von k? Antworten: #K=ln2/10# Erläuterung: Die Standardgleichung für das Gesetz des natürlichen Wachstums lautet #P[t]=Ce^[kt#. Lassen#P[t]=1# wann # t=0#, … Weiterlesen
Was ist die Taylor-Reihe von #e ^ ((- x) ^ 2) #? Die Antwort, wann #a=0#ist: #f(x)=sum_{k=0}^inftyx^(2k)/(k!)# Die Taylor-Reihe wird gegeben durch: #f(x)=sum_{k=0}^infty{f^{(k)}(a)}/{k!}(x-a)^k#. Wir wissen, dass die Taylor-Reihe von #e^(x)#Wenn #a=0#ist: #f(x)=sum_{k=0}^inftyx^(k)/(k!)# Jetzt müssen wir nur noch die ersetzen #x# der obigen Reihe mit #(-x)^(2)# (In Operationen mit Taylor-Reihen wird es Substitution genannt): #f(x)=sum_{k=0}^infty((-x)^2)^(k)/(k!)=sum_{k=0}^infty((-x)^(2k))/(k!)=sum_{k=0}^inftyx^(2k)/(k!)# Wenn … Weiterlesen
Wie unterscheidet man # y = arcsin (x) #? Antworten: Siehe unten. Erläuterung: #y=arcsin(x)# Bevor wir fortfahren, müssen wir verstehen, wonach wir suchen. Erinnere dich daran: #y=arcsin(x)# ist die Umkehrfunktion von #y=sin(x)# Dies kann ausgedrückt werden als: #y=arcsin(x) <=> x=sin(y)# Mit #x=sin(y)# Wir müssen unterscheiden in Bezug auf #x#Dies muss also implizit differenziert werden. Daran … Weiterlesen
Wie finden Sie die Maclaurin-Reihe von #f (x) = e ^ (- 2x) #? Die Maclaurin-Reihe von #f_{(x)}=e^{-2x}# is #f_{(x)}=1+(-2x)+(-2x)^2/{2!}+(-2x)^3/{3!}+ . . .# Erste Lösungsmethode: Die Maclaurin-Serie von #y=e^z# is #y=1+z+z^2/{2!}+z^3/{3!}+z^4/{4!}+ . . .# Lassen #z=-2x#. Dann #quad f_{(x)}=e^{-2x}=e^zquad# und #f_{(x)}# hat die gleiche Maclaurin-Serie wie oben, außer dass wir eingestellt haben #z=-2x# und bekomme … Weiterlesen
Was ist die Ableitung von cosec x? Antworten: #-cotxcscx# Erläuterung: #“differentiate using the „color(blue)“chain rule“# #“given „y=f(g(x))“ then“# #dy/dx=f'(g(x))xxg'(x)larrcolor(blue)“chain rule“# #“here „y=cscx=1/sinx=(sinx)^-1# #rArrdy/dx=-(sinx)^-2xxd/dx(sinx)# #color(white)(rArrdy/dx)=-cosx/(sin^2x)# #color(white)(rArrdy/dx)=-cosx/sinx xx1/sinx# #color(white)(rArrdy/dx)=-cotxcscx#
Wie finden Sie die Domain und den Bereich von #h (x) = ln (x-6) #? Die Antworten sind: #D(6,+oo)# und #R(-oo,+oo)#. Die Domäne der Funktion #y=lnf(x)# ist: #f(x)>0#. Damit: #x-6>0rArrx>6# oder wir können schreiben: #D=(6,+oo)# Der Bereich einer Funktion ist der Bereich der Umkehrfunktion. Die Umkehrfunktion der logarithmischen Funktion ist die Exponentialfunktion. Also (mit der … Weiterlesen
Wie finden Sie das Integral von # sin ^ 2 (2x) dx #? Antworten: Die Antwort ist #=x/2-(sin4x)/8+C# Erläuterung: Wir verwenden #cos4x=1-2sin^2(x)# #sin^2 2x=1/2(1-cos4x)# Deswegen, #int(sin^2 2x)dx=1/2int(1-cos4x)dx# #=1/2(x-(sin4x)/4)+C# #=x/2-(sin4x)/8+C#
Wie unterscheidet man #f (x) = cos ^ 2x #? Antworten: #f'(x)=-sin2x# Erläuterung: differentiate using the #color(blue)“chain rule“# #color(orange)“Reminder “ color(red)(bar(ul(|color(white)(2/2)color(black)(dy/dx=(dy)/(du)xx(du)/(dx))color(white)(2/2)|)))# #“Express “ f(x)=cos^2x=(cosx)^2# #“let „u=cosxrArr(du)/(dx)=-sinx# #“then „y=u^2rArr(dy)/(du)=2u# #rArrdy/dx=2u(-sinx)# change u back into terms of x #rArrdy/dx=-2sinxcosx# #color(orange)“Reminder“ sin2x=2sinxcosx# #rArrdy/dx=-sin2x#
Wie finden Sie die augenblickliche Änderungsrate einer Funktion an einem Punkt? Sie können das Momentane finden Änderungsrate einer Funktion zu einem bestimmten Zeitpunkt durch Auffinden der Ableitung dieser Funktion und Einstecken der #x#-Wert des Punktes. Die augenblickliche Änderungsrate einer Funktion wird durch die Steigung der Linie dargestellt. Sie gibt an, um wie viel die Funktion … Weiterlesen