Wie unterscheidet man # y = arcsin (x) #?

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

#y=arcsin(x)#

Bevor wir fortfahren, müssen wir verstehen, wonach wir suchen. Erinnere dich daran:

#y=arcsin(x)# ist die Umkehrfunktion von #y=sin(x)#

Dies kann ausgedrückt werden als:

#y=arcsin(x) <=> x=sin(y)#

Mit

#x=sin(y)#

Wir müssen unterscheiden in Bezug auf #x#Dies muss also implizit differenziert werden.

Daran erinnern:

#d/dx(f(y))= (d)/(dy)(f(y))*dy/dx#

#dy/dx(x)=d/(dy)(sin(y))*dy/dx#

#1=cos(y)*dy/dx#

#dy/dx=1/cos(y)#

Von oben #y = arcsin(x)#

Ersetzung in #dy/dx=1/cos(y)#

#:.#

#dy/dx=1/cos(arcsin(x))#

Das ist etwas umständlich, und es wäre einfacher, wenn wir das anders ausdrücken könnten.

Verwendung der pythagoreischen Identität:

#color(red)(sin^2(y)+cos^2(y)=1)#

#cos(y)=+-sqrt(1-sin^2(y))#

Verwenden der positiven Wurzel: ( siehe unten)

#:.#

#dy/dx=1/(sqrt(1-sin^2(y)))#

Von oben #x=sin(y)#

Daher:

#dy/dx=1/(sqrt(1-x^2)#

#:.#

#dy/dx(arcsin(x))=1/(sqrt(1-x^2)#

Grund für die Verwendung der positiven Wurzel von #sqrt(1-sin^2(y))#

Das ist weil #y=sin(x)# hat nur eine Umkehrung wenn wir die Domain einschränken auf:

#-pi/2 <= x <= pi/2#

In #color(white)(88)1/cos(y)# , #color(white)(88)y# ist ein Winkel und es ist ein Winkel im Bereich

#-pi/2 <= x <= pi/2#

Dieser Bereich ist in der I und IV Quadranten, bei denen die Kosinusverhältnisse positiv sind.

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