Wie finden Sie die augenblickliche Änderungsrate einer Funktion an einem Punkt?

Sie können das Momentane finden Änderungsrate einer Funktion zu einem bestimmten Zeitpunkt durch Auffinden der Ableitung dieser Funktion und Einstecken der #x#-Wert des Punktes.

Die augenblickliche Änderungsrate einer Funktion wird durch die Steigung der Linie dargestellt. Sie gibt an, um wie viel die Funktion sich erhöht oder verringert #x#-Werte ändern sich.

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Abbildung 1. Hang einer Linie

In diesem Bild können Sie sehen, wie die augenblickliche Änderungsrate der blauen Funktion durch eine rote Linie dargestellt wird, die die Kurve tangiert. Um die Steigung dieser Linie zu ermitteln, müssen Sie zunächst die Ableitung der Funktion ermitteln.


Ex: #2x^2+4 , (1,6)#

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credit: www.wolframalpha.com


Unter Verwendung der Potenzregel für Derivate erhalten wir #4x# als Ableitung. Einstecken unserer Punkte #x#-Wert, wir haben:

#4(1) = 4#

Dies sagt uns, dass die Steigung unserer ursprünglichen Funktion bei #(1,6)# is #4#, was auch die augenblickliche Änderungsrate zu diesem Zeitpunkt darstellt.

Wenn wir auch die Gleichung der Linie finden wollen, die die Kurve am Punkt tangiert, was für bestimmte Anwendungen von Ableitungen erforderlich ist, können wir die Punkt-Steigungs-Form verwenden:

#y-y_1=m(x-x_1)#

mit #m# = Steigung der Linie.

Einstecken unserer #x#,#y#und Steigungswert haben wir:

#y-6=4(x-1)#

Welches vereinfacht zu


#y=4x+2#
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Bei Problemen mit der "augenblicklichen Änderungsrate" einer Funktion müssen Sie die Ableitung verwenden, obwohl sie möglicherweise in einer Weise getarnt ist, die Sie nicht kennen, z. B. die Geschwindigkeit eines Objekts nach einer bestimmten Zeit. Das Üben von Problemen mit ähnlichen Änderungsraten hilft Ihnen dabei, ein Gefühl für die praktische Verwendung von Derivaten zu bekommen.

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