Wie findet man eine Potenzreihendarstellung für # (arctan (x)) / (x) # und wie groß ist der Konvergenzradius? Antworten: Integrieren Sie die Potenzreihe der Ableitung von #arctan(x)# dann dividiere durch #x#. Erläuterung: Wir kennen die Potenzreihendarstellung von #1/(1-x) = sum_nx^n AAx# so dass #absx < 1#. So #1/(1+x^2) = (arctan(x))‘ = sum_n (-1)^nx^(2n)#. Also die … Weiterlesen

Wie binde ich # (e ^ x / x) dx # ein? Dies wird manchmal als Exponentialintegral bezeichnet: #inte^x/xdx=“Ei“(x)+C# Aber die Methode, die ich verwenden würde (da ich mit dem Integral nicht vertraut bin), ist die Maclaurin-Reihe für #e^x#: #e^x=1+x+x^2/(2!)+x^3/(3!)+…=sum_(n=0)^oox^n/(n!)# Dann: #e^x/x=1/x+1+x/(2!)+x^2/(3!)+…=1/x+sum_(n=0)^oox^n/((n+1)!)# Das Antiderivativ wird also sein: #inte^x/xdx=int(1/x+1+x/(2!)+x^2/(3!)+…)dx=ln(absx)+x+x^2/(2*2!)+x^3/(3*3!)+…+C# #inte^x/xdx=ln(absx)+sum_(n=1)^oox^n/(n*n!)+C#

Wie finden Sie einen Ausdruck für #sin (x) # in Form von #e ^ (ix) # und #e ^ (ix) #? Antworten: #sinx = (e^(ix) – e^(-ix))/(2i)# Erläuterung: Beginnen Sie mit der MacLaurin-Reihe der Exponentialfunktion: #e^x = sum_(n=0)^oo x^n/(n!)# so: #e^(ix) = sum_(n=0)^oo (ix)^n/(n!) = sum_(n=0)^oo i^nx^n/(n!) # Trennen Sie jetzt die Begriffe für #n# … Weiterlesen