Wie finden Sie einen Ausdruck für #sin (x) # in Form von #e ^ (ix) # und #e ^ (ix) #?

Beginnen Sie mit der MacLaurin-Reihe der Exponentialfunktion:

#e^x = sum_(n=0)^oo x^n/(n!)#

so:

#e^(ix) = sum_(n=0)^oo (ix)^n/(n!) = sum_(n=0)^oo i^nx^n/(n!) #

Trennen Sie jetzt die Begriffe für #n# sogar und #n# ungerade und lassen #n=2k# im ersten Fall, #n= 2k+1# in dieser Sekunde:

#e^(ix) = sum_(k=0)^oo i^(2k) x^(2k)/((2k)!) + sum_(k=0)^oo i^(2k+1)x^(2k+1)/((2k+1)!) #

Beachten Sie jetzt, dass:

#i^(2k) = (i^2)^k = (-1)^k#

#i^(2k+1) = i*i^(2k) = i*(-1)^k#

so:

#e^(ix) = sum_(k=0)^oo (-1)^k x^(2k)/((2k)!) + isum_(k=0)^oo (-1)^k x^(2k+1)/((2k+1)!) #

und wir können die MacLaurin-Erweiterungen von erkennen #cosx# und #sinx#:

#e^(ix) = cosx +i sinx#

Das ist Eulers Formel.

In Anbetracht, dass #cosx# ist eine gerade Funktion und #sinx# und ungerade Funktion dann haben wir:

#e^(-ix) = cos(-x) + i sin(-x) = cosx-i sinx#

dann:

#e^(ix) - e^(-ix) = 2i sinx#

und schlussendlich:

#sinx = (e^(ix) - e^(-ix))/(2i)#