Wie findet man eine Potenzreihendarstellung für # (arctan (x)) / (x) # und wie groß ist der Konvergenzradius?

Antworten:

Integrieren Sie die Potenzreihe der Ableitung von #arctan(x)# dann dividiere durch #x#.

Erläuterung:

Wir kennen die Potenzreihendarstellung von #1/(1-x) = sum_nx^n AAx# so dass #absx < 1#. So #1/(1+x^2) = (arctan(x))' = sum_n (-1)^nx^(2n)#.

Also die Potenzreihe von #arctan(x)# is #intsum_n (-1)^nx^(2n)dx = sum_n int(-1)^nx^(2n)dx = sum_n((-1)^n)/(2n+1)x^(2n+1)#.

Sie teilen es durch #x#finden Sie heraus, dass die Potenzreihe von #arctan(x)/x# is #sum_n((-1)^n)/(2n+1)x^(2n)#. Sagen wir #u_n = ((-1)^n)/(2n+1)x^(2n)#

Um den Konvergenzradius dieser Potenzreihe zu ermitteln, werten wir aus #lim_(n -> +oo)abs((u_(n+1))/u_n#.

#(u_(n+1))/u_n = (-1)^(n+1)*x^(2n+2)/(2n+3)(2n+1)/((-1)^nx^(2n)) = -(2n+1)/(2n+3)x^2#.

#lim_(n -> +oo)abs((u_(n+1))/u_n) = abs(x^2)#. Wenn wir also wollen, dass die Potenzreihen konvergieren, brauchen wir #abs(x^2) = absx^2 < 1#, so wird die Serie konvergieren, wenn #absx <1#, was nicht verwunderlich ist, da es sich um den Konvergenzradius der Potenzreihendarstellung handelt #arctan(x)#.

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