Infinitesimalrechnung

Wie finden Sie die 50-te Ableitung von `y = cos2x`? Antworten: `y^((50)) = -2^(50) cos(2x)` Erläuterung: Eine fünfzigste Ableitung! Schätze, wir fangen besser an … Zeroth-Derivat: `y = cos(2x)` Erste Ableitung: `y‘ = -2sin(2x)` Zweite Ableitung `y“ = -4 cos(2x)` Warten Sie … diese zweite Ableitung ist vertraut. Es ist … Weiterlesen

Wie finden Sie das Volumen der Region, die von den Diagrammen `y = x ^ 2` und `y = sqrt x` um die x-Achse begrenzt wird? Antworten: `color(blue)(pi/3 „cubic units.“)` Erläuterung: Aus der Grafik können wir ersehen, dass das gesuchte Volumen zwischen den beiden Funktionen liegt. Um dies zu finden, müssen wir das … Weiterlesen

Wie finden Sie die Maclaurin-Reihe für `arctan x`, zentriert bei x = 0? Antworten: `arctanx = sum_(n=0)^oo (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)` Erläuterung: Beginnen Sie mit der Summe von a geometrische Reihe, welches ist: `sum_(n=0)^oo xi^n = 1/(1-xi)` jetzt ersetzen: `xi = -t^2` und wir haben: `sum_(n=0)^oo (-t^2)^n = 1/(1+t^2)` oder: `sum_(n=0)^oo (-1)^nt^(2n) = 1/(1+t^2)` Wenn wir … Weiterlesen

Ein Stein, der in einen stillstehenden Teich gefallen ist, sendet eine kreisförmige Welle aus, deren Radius mit einer konstanten Geschwindigkeit von 2 m / sec zunimmt. Wie schnell nimmt die von der Welligkeit umschlossene Fläche am Ende von 20 sec zu? Antworten: `160pi` mtrs ^ 2`/sec`. Erläuterung: Kreisfläche =`pir^2`……. `A=pir^2`……`[1]` Differenzieren ….`[1]` in Bezug auf … Weiterlesen

Wie finden Sie das Integral von `cos (5x)`? Lassen `5x=t` `=> dt= 5dx` `intcos(5x)dx` `=>intcost(dt)/5` `=>intcost(dt)/5` `=> sint/5 + c` `=> sin(5x)/5 + c`

Ein Licht am Boden ist 30 Fuß von einem Gebäude entfernt. Ein 4-Fußgänger geht mit einer Geschwindigkeit von 3 Fuß pro Sekunde vom Licht zum Gebäude und wirft einen Schatten auf das Gebäude. Mit welcher Geschwindigkeit schrumpft sein Schatten, wenn er 5 Fuß vom Gebäude entfernt ist? Antworten: `sf(-0.58color(white)(x)“ft/s“)` Erläuterung: Als der Mann auf das … Weiterlesen

Wie binde ich `cscx` ein? Antworten: `int csc x dx = – ln|csc(x) + cot(x)| +C` Erläuterung: Es gibt viele Möglichkeiten, dieses Ergebnis zu beweisen. Die schnellste mir bekannte Methode ist folgende: `int csc x dx = int cscx (cscx + cotx)/(cscx + cotx) dx` # “ „= int (csc^2x … Weiterlesen

Wie finden Sie die Ableitung von `y = ln (5x)`? `y’=1/x` Erläuterung Suppose, `y=ln(b(x))` then using Chain Rule, `y’=1/(b(x))*(b(x))’` Similarly following for the above function yields, `y’=1/(5x)*(5x)’` `y’=1/(5x)*5` `y’=1/x`

Wie kann man `sqrt (1-x ^ 2)` integrieren? Antworten: Die Antwort ist `=1/2arcsinx+1/2xsqrt(1-x^2)+C` Erläuterung: Lassen `x=sintheta`, `=>`, `dx=costhetad theta` `costheta=sqrt(1-x^2)` `sin2theta=2sinthetacostheta=2xsqrt(1-x^2)` Daher ist das Integral `I=intsqrt(1-x^2)dx=intcostheta*costheta d theta` `=intcos^2thetad theta` `cos2theta=2cos^2theta-1` `cos^2theta=(1+cos2theta)/2` Deswegen, `I=1/2int(1+cos2theta)d theta` `=1/2(theta+1/2sin2theta)` `=1/2arcsinx+1/2xsqrt(1-x^2)+C`

Wie finden Sie das Integral von `cos ^ (- 1) x dx`? Antworten: `=x cos^(-1) x – sqrt(1-x^2) + C` Erläuterung: `int cos^(-1) x dx` wir wissen `d/dx ( cos^(-1) x ) = -1/sqrt(1-x^2)` Wir können also versuchen, ein IBP einzurichten und diese Tatsache zu nutzen `= int d/dx (x) cos^(-1) x dx` #=x … Weiterlesen