Wie finden Sie die Maclaurin-Reihe für #arctan x #, zentriert bei x = 0?

Beginnen Sie mit der Summe von a geometrische Reihe, welches ist:

#sum_(n=0)^oo xi^n = 1/(1-xi)#

jetzt ersetzen: #xi = -t^2# und wir haben:

#sum_(n=0)^oo (-t^2)^n = 1/(1+t^2)#

oder:

#sum_(n=0)^oo (-1)^nt^(2n) = 1/(1+t^2)#

Wenn wir jetzt die Reihe Begriff für Begriff integrieren, haben wir:

#sum_(n=0)^oo int_0^x (-1)^nt^(2n)dt = int_0^x (dt)/(1+t^2)#

Im zweiten Glied haben wir ein Standardintegral:

#int_0^x (dt)/(1+t^2) = arctanx#

also haben wir:

#arctanx = sum_(n=0)^oo int_0^x (-1)^nt^(2n)dt = sum_(n=0)^oo (-1)^n [t^(2n+1)/(2n+1)]_0^x#

und schlussendlich:

#arctanx = sum_(n=0)^oo (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)#