Wie finden Sie das Volumen der Region, die von den Diagrammen #y = x ^ 2 # und #y = sqrt x # um die x-Achse begrenzt wird?

Aus der Grafik können wir ersehen, dass das gesuchte Volumen zwischen den beiden Funktionen liegt. Um dies zu finden, müssen wir das Revolutionsvolumen von finden #f(x)=sqrt(x)# und subtrahieren Sie das Volumen der Umdrehung von #f(x)=x^2#. Dies wird als schattierter Bereich angezeigt.

Zuerst müssen wir die oberen und unteren Grenzen finden. Wir wissen, dass die Untergrenze ist #0# da #f(x)=sqrt(x)# ist undefiniert für #x<0#. In der oberen Schranke kreuzen sich die Funktionen:

#:.#

#x^2=sqrt(x)#

#x^2/x^(1/2)=1#

#x^(3/2)=1#

Quadrieren:

#x^3=1#

#x=root(3)(1)=1#

Lautstärke von #bb(f(x)=sqrt(x))#:

#pi int_(0)^(1)(x^(1/2))=pi[2/3x^(3/2)]_(0)^(1)#

#=pi{[2/3x^(3/2)]^(1)-[2/3x^(3/2)]_(0)}#

Einstecken der oberen und unteren Schranken:

#=pi{[2/3(1)^(3/2)]^(1)-[2/3(0)^(3/2)]_(0)}=(2pi)/3# kubische Einheiten

Lautstärke von #bb(f(x)=x^2)#

#pi int_(0)^(1)(x^2)=pi[1/3x^3]_(0)^(1)#

#=pi{[[1/3x^3]^(1)-[1/3x^3]_(0)}#

Einstecken der oberen und unteren Schranken:

#=pi{[[1/3(1)^3]^(1)-[1/3(0)^3]_(0)}=pi/3# kubische Einheiten.

Erforderliches Volumen ist:

#(2pi)/3-pi/3=##color(blue)(pi/3 "cubic units.")#

Volumen der Umdrehung: