Infinitesimalrechnung

Wie finden Sie die Ableitung von `x ^ tanx`? Antworten: `x^{tan(x)}(ln(x)*sec^{2}(x)+tan(x)/x)` Erläuterung: Verwenden Sie die logarithmische Differenzierung: let `y=x^{tan(x)}` damit `ln(y)=ln(x^{tan(x)})=tan(x)ln(x)`. Unterscheiden Sie nun beide Seiten in Bezug auf `x`, daran denkend, dass `y` ist eine Funktion von `x` und mit dem Kettenregel und Produktregel: `1/y * dy/dx=sec^{2}(x)ln(x)+tan(x)/x` Daher `dy/dx=y * (ln(x)sec^{2}(x)+tan(x)/x)` #=x^{tan(x)} … Weiterlesen

Wie findet man eine Potenzreihendarstellung für `ln (5-x)` und wie groß ist der Konvergenzradius? Wir können von der Potenzreihe ausgehen, die Sie während des Semesters gelernt haben: `1/(1-u) = sum_(n=0)^(N) u^n = 1 + u + u^2 + u^3 + …` Nun lasst uns abarbeiten `ln(5-x)` zu erreichen `1/(1-u)`. `d/(dx)[ln(5-x)] = -1/(5-x) = -1/5*1/(1-x/5)` … Weiterlesen

Was ist das Integral von `xcos (x)`? Sie verwenden die Idee der Teilintegration: `int uv’dx = uv – intu’vdx` `intx cosxdx =` Lassen: `u = x` `u‘ = 1` `v‘ = cosx` `v = sinx` Dann: `intx cosxdx = xsinx – int 1*sinxdx = xsinx – (-cosx) = xsinx+cosx`

Wie finden Sie die Gleichung der Sekantenlinie durch die Punkte, an denen X die angegebenen Werte hat: f (x) = x ^ 2 + 2x; x = 3, x = 5? Antworten: Eine Sekantenlinie ist einfach eine lineare Gleichung und mit zwei gegebenen Punkten können Sie die Gleichung finden. Erläuterung: Die zwei Punkte auf der … Weiterlesen

Was ist die Ableitung von `y = ln (1 / x)`? `y’=-1/x` Volle Lösung `y=ln(1/x)` This can be solved in two different ways, Erklärung (I) The simplest one is, using logarithm identity, `log(1/x^y)=log(x^-y)=-ylog (x)`, similarly following for problem, `y=-ln(x)` `y’=-(ln(x))’` `y’=-1/x` Erklärung (II) Mit Kettenregel, `y’=(ln(1/x))’` `y’=1/(1/x)*(-1/x^2)=-1/x` `y’=-1/x`

Ein rechter Zylinder ist in eine Kugel mit dem Radius r eingeschrieben. Wie finden Sie das größtmögliche Volumen eines solchen Zylinders? Antworten: `V=(4 sqrt3 pi r^3)/9` Erläuterung: Dieses Optimierungsproblem besteht aus mehreren Schritten. 1.) Finden Sie die Gleichung für das Volumen eines Zylinders, der in eine Kugel eingeschrieben ist. 2.) Ermitteln Sie die Ableitung der … Weiterlesen

Wie findest du `lim cosx / x` als `x-> 0 ^ +`? Antworten: `Lt_(x->0^+)cosx/x=oo` Erläuterung: In `Lt_(x->0^+)cosx/x`, wie `x->0`, `cosx->cos0=1` und `x->0` Daher `Lt_(x->0^+)cosx/x=1/0=oo`

Ist `f (x) = – 2x ^ 3-2x ^ 2 + 8x-1` konkav oder konvex bei `x = 3`? Antworten: Konkav (manchmal auch "konkav nach unten" genannt) Erläuterung: Konkavität und Konvexität werden durch das Vorzeichen der zweiten Ableitung einer Funktion bestimmt: If `f“(3)<0`, dann `f(x)` ist konkav bei `x=3`. If `f“(3)>0`, dann … Weiterlesen

Finden Sie Punkte auf der Kurve y = {2x ^ 3 + 3x ^ 2-12x + 1}, an denen die Tangente horizontal ist? Antworten: (-2,21) (1,6) Erläuterung: Schritt eins: Finden Sie die Ableitung der Gleichung. `y’=6x^2+6x-12` Schritt 2: Da eine horizontale Linie eine Steigung von 0 hat, setzen Sie die Ableitung auf 0 und lösen … Weiterlesen

Was ist die Ableitung von `arctan (x / 2)`? Antworten: `2/(4+x^2)` Erläuterung: differentiate using the `color(blue)“chain rule“` `color(red)(|bar(ul(color(white)(a/a)color(black)(dy/dx=(dy)/(du)xx(du)/(dx))color(white)(a/a)|)))…….. (A)` Note that `x/2=1/2x` let `color(blue)(u=1/2x)rArr(du)/(dx)=1/2` `color(orange)“Reminder“ color(red)(|bar(ul(color(white)(a/a)color(black)(d/dx(arctanx)=1/(1+x^2))color(white)(a/a)|)))` and `y=arctancolor(blue)(u)rArr(dy)/(du)=1/(1+color(blue)(u)^2` Substitute these values into (A) and convert u back into terms of x. `dy/dx=1/(1+(x/2)^2)xx1/2=(1/2)/((1+x^2/4))=(1/2)/(1/4(4+x^2))` `rArrdy/dx=2/(4+x^2)`