Infinitesimalrechnung

Wie finden Sie die Ableitung von # x ^ tanx #? Antworten: #x^{tan(x)}(ln(x)*sec^{2}(x)+tan(x)/x)# Erläuterung: Verwenden Sie die logarithmische Differenzierung: let #y=x^{tan(x)}# damit #ln(y)=ln(x^{tan(x)})=tan(x)ln(x)#. Unterscheiden Sie nun beide Seiten in Bezug auf #x#, daran denkend, dass #y# ist eine Funktion von #x# und mit dem Kettenregel und Produktregel: #1/y * dy/dx=sec^{2}(x)ln(x)+tan(x)/x# Daher #dy/dx=y * (ln(x)sec^{2}(x)+tan(x)/x)# #=x^{tan(x)} … Weiterlesen

Wie findet man eine Potenzreihendarstellung für #ln (5-x) # und wie groß ist der Konvergenzradius? Wir können von der Potenzreihe ausgehen, die Sie während des Semesters gelernt haben: #1/(1-u) = sum_(n=0)^(N) u^n = 1 + u + u^2 + u^3 + …# Nun lasst uns abarbeiten #ln(5-x)# zu erreichen #1/(1-u)#. #d/(dx)[ln(5-x)] = -1/(5-x) = -1/5*1/(1-x/5)# … Weiterlesen

Was ist das Integral von #xcos (x) #? Sie verwenden die Idee der Teilintegration: #int uv’dx = uv – intu’vdx # #intx cosxdx = # Lassen: #u = x# #u‘ = 1# #v‘ = cosx# #v = sinx# Dann: #intx cosxdx = xsinx – int 1*sinxdx = xsinx – (-cosx) = xsinx+cosx#

Wie finden Sie die Gleichung der Sekantenlinie durch die Punkte, an denen X die angegebenen Werte hat: f (x) = x ^ 2 + 2x; x = 3, x = 5? Antworten: Eine Sekantenlinie ist einfach eine lineare Gleichung und mit zwei gegebenen Punkten können Sie die Gleichung finden. Erläuterung: Die zwei Punkte auf der … Weiterlesen

Was ist die Ableitung von # y = ln (1 / x) #? #y’=-1/x# Volle Lösung #y=ln(1/x)# This can be solved in two different ways, Erklärung (I) The simplest one is, using logarithm identity, #log(1/x^y)=log(x^-y)=-ylog (x)#, similarly following for problem, #y=-ln(x)# #y’=-(ln(x))’# #y’=-1/x# Erklärung (II) Mit Kettenregel, #y’=(ln(1/x))’# #y’=1/(1/x)*(-1/x^2)=-1/x# #y’=-1/x#

Ein rechter Zylinder ist in eine Kugel mit dem Radius r eingeschrieben. Wie finden Sie das größtmögliche Volumen eines solchen Zylinders? Antworten: #V=(4 sqrt3 pi r^3)/9# Erläuterung: Dieses Optimierungsproblem besteht aus mehreren Schritten. 1.) Finden Sie die Gleichung für das Volumen eines Zylinders, der in eine Kugel eingeschrieben ist. 2.) Ermitteln Sie die Ableitung der … Weiterlesen

Wie findest du #lim cosx / x # als # x-> 0 ^ + #? Antworten: #Lt_(x->0^+)cosx/x=oo# Erläuterung: In #Lt_(x->0^+)cosx/x#, wie #x->0#, #cosx->cos0=1# und #x->0# Daher #Lt_(x->0^+)cosx/x=1/0=oo#

Ist #f (x) = – 2x ^ 3-2x ^ 2 + 8x-1 # konkav oder konvex bei # x = 3 #? Antworten: Konkav (manchmal auch "konkav nach unten" genannt) Erläuterung: Konkavität und Konvexität werden durch das Vorzeichen der zweiten Ableitung einer Funktion bestimmt: If #f“(3)<0#, dann #f(x)# ist konkav bei #x=3#. If #f“(3)>0#, dann … Weiterlesen

Finden Sie Punkte auf der Kurve y = {2x ^ 3 + 3x ^ 2-12x + 1}, an denen die Tangente horizontal ist? Antworten: (-2,21) (1,6) Erläuterung: Schritt eins: Finden Sie die Ableitung der Gleichung. #y’=6x^2+6x-12# Schritt 2: Da eine horizontale Linie eine Steigung von 0 hat, setzen Sie die Ableitung auf 0 und lösen … Weiterlesen

Was ist die Ableitung von #arctan (x / 2) #? Antworten: #2/(4+x^2)# Erläuterung: differentiate using the #color(blue)“chain rule“# #color(red)(|bar(ul(color(white)(a/a)color(black)(dy/dx=(dy)/(du)xx(du)/(dx))color(white)(a/a)|)))…….. (A)# Note that #x/2=1/2x# let #color(blue)(u=1/2x)rArr(du)/(dx)=1/2# #color(orange)“Reminder“ color(red)(|bar(ul(color(white)(a/a)color(black)(d/dx(arctanx)=1/(1+x^2))color(white)(a/a)|)))# and #y=arctancolor(blue)(u)rArr(dy)/(du)=1/(1+color(blue)(u)^2# Substitute these values into (A) and convert u back into terms of x. #dy/dx=1/(1+(x/2)^2)xx1/2=(1/2)/((1+x^2/4))=(1/2)/(1/4(4+x^2))# #rArrdy/dx=2/(4+x^2)#