Infinitesimalrechnung

Wie findet man eine Potenzreihendarstellung für # 1 / (1-x) ^ 2 # und wie groß ist der Konvergenzradius? Antworten: #1/(1-x)^2=1+2x+3x^2+…# Erläuterung: Wir sind gegeben #f(x)=1/(1-x)^2# Das ist ziemlich ähnlich zu #1/(1-x)#, für die wir eine Potenzreihe kennen: #1/(1-x) = 1+x+x^2+…=sum_(k=0)^oo x^k# Der Konvergenzradius für diese Potenzreihe beträgt #x in (-1,1)#. Es wäre zwar einfach, … Weiterlesen

Wie finden Sie die Fläche der Region, die von der Polarkurve # r ^ 2 = 4cos (2theta) # begrenzt wird? Das erste, an das man sich erinnert, dass ein Integral eine Möglichkeit ist, unendlich viele Bereiche zu addieren. Für rechteckige Koordinaten (#y=f(x)#) sind diese Bereiche immer Rechtecke. #int_a^bf(x)dx# bedeutet wörtlich "lasst uns den Bereich … Weiterlesen

Was ist die Taylorreihenerweiterung für die Tangensfunktion (tanx)? Antworten: # tan x = x + 1/3x^3 +2/15x^5 + …# Erläuterung: Die Maclaurin-Reihe ist gegeben durch # f(x) = f(0) + (f'(0))/(1!)x + (f“(0))/(2!)x^2 + (f“'(0))/(3!)x^3 + … (f^((n))(0))/(n!)x^n + …# Wir beginnen mit der Funktion # f^((0))(x) = f(x) = tanx # Dann berechnen wir … Weiterlesen

Wie können Sie mithilfe des Integraltests zeigen, ob #sum (1 / e ^ k) # divergiert oder konvergiert? Antworten: Die Reihe konvergiert, wie durch den nachstehend erläuterten Integraltest bewiesen wird. Erläuterung: Der integrale Test besagt, dass: If #int_1^oo f(x)dx# konvergiert zu einem Wert, der dann nicht unendlich ist #sum_(k=1)^oof(k)# wird auch konvergieren. Zuerst müssen wir … Weiterlesen

#int_(0)^(15)x^2sqrt(a^2-x^2)dx#? Antworten: #int_0^a x^2sqrt(a^2-x^2)dx = (a^4pi)/16# Erläuterung: Bewerten: #int_0^a x^2sqrt(a^2-x^2)dx # Ersatz: #x= asint# #dx = a costdt# mit #t in [0,pi/2]# damit: #int_0^a x^2sqrt(a^2-x^2)dx = int_0^(pi/2) a^2 sin^2t sqrt(a^2-a^2 sin^2t)acostdt# #int_0^a x^2sqrt(a^2-x^2)dx = a^4 int_0^(pi/2) sin^2t sqrt(1- sin^2t)costdt# Für #t in [0,pi/2]# Der Cosinus ist positiv, also: #sqrt(1- sin^2t) = cost# und dann: #int_0^a … Weiterlesen

Wie unterscheidet man #f (x) = e ^ tan (x) # anhand der Kettenregel? Antworten: Multiplizieren Sie die Ableitung von #e^tanx# durch die Ableitung von #tanx# bekommen #f'(x)=e^(tanx)sec^2x#. Erläuterung: Um dies zu differenzieren, muss das verwendet werden Kettenregel, die, klar ausgedrückt, besagt, dass die Ableitung von a zusammengesetzte Funktion (mögen #e^tanx#) ist gleich der Ableitung … Weiterlesen

Wie finden Sie das Antiderivativum von # sinxcosx #? Antworten: #-1/4 cos 2x + C# or #1/2 sin^2 x + C# or #-1/2 cos^2 x + C# Erläuterung: gut, #sin x cos x = (sin 2x) /2# also siehst du #1/2 int sin 2x dx = (1/2) [( 1/2) ( -cos 2x) + C] = … Weiterlesen

Wie bewerte ich # int_0 ^ 5 | x-5 | dx #, indem ich es in Bezug auf Bereiche interpretiere? #|x-5|# ist gleich #x-5# if #x-5>0# (dh #x>5#), Und #5-x# ansonsten (d. h #x<5#). Beide Gleichungen #x-5# und #5-x# Sind Linien, so wird der Graph Ihres absoluten Wertes wie ein V geformt: graph {| x-5 … Weiterlesen

Was ist die Grenze von sin (1 / x), wenn sich x 0 nähert? Antworten: Das Limit existiert nicht. Erläuterung: Beachten Sie Folgendes, um zu verstehen, warum wir dieses Limit nicht finden können: We can make a new variable #h# so that #h = 1/x#. As #x -> 0#, #h -> oo#, since #1/0# is … Weiterlesen

Die Höhe eines Dreiecks nimmt mit einer Geschwindigkeit von 1.5 cm / min zu, während die Fläche des Dreiecks mit einer Geschwindigkeit von 5 cm / min quadratisch zunimmt. Mit welcher Geschwindigkeit ändert sich die Basis des Dreiecks, wenn die Höhe 9 cm und die Fläche 81 cm² beträgt? Dies ist ein verwandtes Ratenproblem. Die … Weiterlesen