Wie bewerte ich # int_0 ^ 5 | x-5 | dx #, indem ich es in Bezug auf Bereiche interpretiere?

#|x-5|# ist gleich #x-5# if #x-5>0# (dh #x>5#), Und #5-x# ansonsten (d. h #x<5#).

Beide Gleichungen #x-5# und #5-x# Sind Linien, so wird der Graph Ihres absoluten Wertes wie ein V geformt:
graph {| x-5 | [-5.37, 14.63, -1, 9]}
Wie Sie sehen können, vor der Abszisse 5 (dh, #x<5#) Sie haben eine Linie mit einer negativen Steigung #5-x#und nach diesem kritischen Wert haben Sie eine positiv geneigte Linie #x-5#.

Wenn Sie die Funktion über das Intervall integrieren möchten #[0,5]#, müssen Sie (wie gesagt) die Fläche unter der Grafik in diesem Intervall berechnen.

Wenn Sie "durch Interpretation in Bezug auf Bereiche" sagen, gehe ich davon aus, dass Sie die explizite Berechnung des Integrals nicht wollen. In diesem Fall sollte aus der Abbildung ersichtlich sein, dass der gesuchte Bereich derjenige des Dreiecks mit Eckpunkten ist #(0,0)#, #(5,0)# und #(0,5)#.

Es ist ein rechtwinkliges Dreieck mit beiden Katheten 5, und so können Sie leicht den Bereich finden, der ist #25/2#

Wenn meine Vermutung falsch war und Sie tatsächlich das Integral benötigen, sind hier die Schritte:

Beachten Sie zunächst, dass in Ihrem Bereich der Integration (dh das Intervall #[0,5]#) #|x-5|=-x+5#, und so können Sie den Integranden ersetzen. Dann haben Sie, dass das Integral einer Summe die Summe der Integrale ist, und so haben Sie

#int_0^5 -x+5 dx = -int_0^5 x dx + int_0^5 5 =
(-frac{x^2}{2}+ 5x)|_0^5 = -frac{25}{2}+25=frac{25}{2}#