Wie findet man eine Potenzreihendarstellung für # 1 / (1-x) ^ 2 # und wie groß ist der Konvergenzradius?

Wir sind gegeben

#f(x)=1/(1-x)^2#

Das ist ziemlich ähnlich zu #1/(1-x)#, für die wir eine Potenzreihe kennen:

#1/(1-x) = 1+x+x^2+...=sum_(k=0)^oo x^k#

Der Konvergenzradius für diese Potenzreihe beträgt #x in (-1,1)#.

Es wäre zwar einfach, das zu sagen

#1/(1-x)^2 = (sum_(k=0)^oo x^k)^2#

Dies ist keine gültige Darstellung einer Potenzreihe.

In der Regel ergeben sich einige Potenzreihen aus Derivate. Es wäre auch einen Versuch wert.

#"d"/("d"x) [1/(1-x)] = "d"/("d"x) [1+x+x^2+...]#

Durch die Quotientenregel,

#"d"/("d"x) [1/(1-x)] = - ("d"/("d"x) [1-x])/(1-x)^2=color(red)(1/(1-x)^2#

As #"d"/("d"x) x^k = kx^(k-1)#:

#"d"/("d"x) [1+x+x^2+...] = 0 + 1 + 2x + 3x^2 + ... = sum_(k=0)^oo kx^(k-1)#

Daher die Potenzreihendarstellung von #f(x)# is

#1/(1-x)^2 = sum_(k=0)^oo kx^(k-1)#

mit Konvergenzradius #x in (-1,1)#.