Die Höhe eines Dreiecks nimmt mit einer Geschwindigkeit von 1.5 cm / min zu, während die Fläche des Dreiecks mit einer Geschwindigkeit von 5 cm / min quadratisch zunimmt. Mit welcher Geschwindigkeit ändert sich die Basis des Dreiecks, wenn die Höhe 9 cm und die Fläche 81 cm² beträgt?

Dies ist ein verwandtes Ratenproblem.

Die interessierenden Variablen sind
#a# = Höhe
#A# = Fläche und, da die Fläche eines Dreiecks ist #A=1/2ba#, wir brauchen
#b# = Basis.

Die angegebenen Änderungsraten sind in Einheiten pro Minute angegeben, daher ist die (unsichtbare) unabhängige Variable #t# = Zeit in Minuten.

Wir erhalten:
#(da)/dt = 3/2# cm / min

#(dA)/dt = 5# cm#""^2#/ Min

Und wir werden gebeten, zu finden #(db)/dt# wann #a = 9# cm und #A = 81#cm#""^2#

#A=1/2ba#, differenzierend in Bezug auf #t#, wir bekommen:

#d/dt(A)=d/dt(1/2ba)#.

Wir werden das brauchen Produktregel auf der rechten Seite.

#(dA)/dt = 1/2 (db)/dt a + 1/2b (da)/dt#

Wir bekamen jeden Wert außer #(db)/dt# (was wir versuchen zu finden) und #b#. Verwenden Sie die Formel für Fläche und die angegebenen Werte von #a# und #A#, wir können das sehen #b=18#cm.

Ersetzen:

#5= 1/2 (db)/dt (9)+1/2(18)3/2#

Lösen für #(db)/dt = -17/9#cm / min.

Die Basis nimmt ab #17/9# cm / min.

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