Infinitesimalrechnung

Was ist die Ableitung von # (x-1) (x ^ 2 + 2) ^ 3 #?



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Was ist die Ableitung von # (x-1) (x ^ 2 + 2) ^ 3 #? Antworten: #(x^2+2)^2(7x^2-6x+2)# Erläuterung: #“differentiate using the „color(blue)“product rule“# #“given „y=g(x).h(x)“ then“# #dy/dx=g(x)h'(x)+h(x)g'(x)larr“ product rule“# #g(x)=x-1rArrg'(x)=1# #h(x)=(x^2+2)^3rArrh'(x)=3(x^2+2)^2.d/dx(x^2+2)# #color(white)(xxxxxxxxxxxxxxxxxx)=6x(x^2+2)^2# #rArrdy/dx=6x(x-1)(x^2+2)^2+(x^2+2)^3# #color(white)(rArrdy/dx)=(x^2+2)^2(6x^2-6x+x^2+2)# #color(white)(rArrdy/dx)=(x^2+2)^2(7x^2-6x+2)#

Wie findet man eine kubische Funktion #y = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d #, deren Graph horizontale Tangenten an den Punkten hat? (- 2,6) und (2,0)?



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Wie findet man eine kubische Funktion #y = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d #, deren Graph horizontale Tangenten an den Punkten hat? (- 2,6) und (2,0)? Antworten: #f(x)=3/16x^3-9/4 x+3# Erläuterung: Gegeben #f(x)=ax^3+bx^2+cx+d# die Bedingung der horizontalen Tangentialität an Punkten #{x_1,y_1},{x_2,y_2}# is #(df)/(dx)f(x=x_1) = 3ax_1^2+2bx_1+c=0# #(df)/(dx)f(x=x_2) = 3ax_2^2+2bx_2+c=0# auch wir … Weiterlesen

Bewerten Sie das unbestimmte Integral als Potenzreihe?



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Bewerten Sie das unbestimmte Integral als Potenzreihe? Antworten: #C+sum_(n=1)^oo(-1)^(n-1)x^(n+4)/(n(n+4))# #R=1# Erläuterung: Erinnern Sie sich an die Power Series Erweiterung für #ln(1+x):# #ln(1+x)=sum_(n=1)^oo(-1)^(n-1)x^n/n# Dies ist eine, die du dir merken solltest; es wird jedoch wie folgt abgeleitet: #ln(1+x)=int1/(1+x)dx=int1/(1-(-x))dx# #=intsum_(n=0)^oo(-1)^nx^n=sum_(n=0)^ooint(-1)^nx^n# #ln(1+x)=C+sum_(n=0)^oo(-1)^nx^(n+1)/(n+1)# (Term-by-Term-Integration für die Serie durchgeführt) Letting #x=0,# #C=ln(1+0)=0# Durchführen einer Indexverschiebung nach #n=1#bedeutet, alle zu ersetzen … Weiterlesen

Wie findest du die Integration von #log x #?



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Wie findest du die Integration von #log x #? Antworten: #int log(x) dx=1/ln(10)(xln(x)-x)+C=x/ln(10)(ln(x)-1)+C# Erläuterung: #int log(x) dx=int ln(x)/ln(10) dx# #=1/ln(10)int ln(x) dx# Verwendung der Integration in Teilstücken : #int f(x)g'(x) dx=[f(x)g(x)]-int f'(x)g(x) dx# Dort : #f(x)=ln(x), f'(x) =1/x,g(x)=x,g'(x)=1# Damit: #int log(x) dx=1/ln(10)(xln(x)-int dx)# Damit:#int log(x) dx=1/ln(10)(xln(x)-x)+C=x/ln(10)(ln(x)-1)+C# Im Allgemeinen #int log_“n“(x) dx=x/ln(n) (ln(x)-1)+C# #n in RR““_+^*# … Weiterlesen

Wie findet man die lineare Approximation der Funktion #g (x) = root5 (1 + x) # bei a = 0?



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Wie findet man die lineare Approximation der Funktion #g (x) = root5 (1 + x) # bei a = 0? Antworten: #root(5)(1+x) ~= 1+x/5# Erläuterung: Die beste lineare Approximation von #g(x)# um #x=0# ist seine Tangente: #y(x) = g(0)+g'(0)x# Vorausgesetzt, dass: #g(x) = root(5)(1+x) = (1+x)^(1/5)# #g'(x) = 1/5(1+x)^(-4/5)# haben wir: #g(0) = 1# #g'(0) … Weiterlesen

Wie schreibt man eine Summe in erweiterter Form?



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Wie schreibt man eine Summe in erweiterter Form? Vielleicht wollen Sie es nur von "Summationsform" ("Sigma-Form") in eine ausgeschriebene Form umwandeln? Für so etwas wie #sum_{i=1}^{n}i^{2}#, das Summierungssymbol #Sigma# bedeutet nur "addieren". Putting ein #i=1# Unter dem Summationssymbol beginnt der Wert von #i# bei 1. Es wird dann davon ausgegangen, dass #i# erhöht sich um … Weiterlesen