Bewerten Sie das unbestimmte Integral als Potenzreihe?

Antworten:

#C+sum_(n=1)^oo(-1)^(n-1)x^(n+4)/(n(n+4))# #R=1#

Erläuterung:

Erinnern Sie sich an die Power Series Erweiterung für #ln(1+x):#

#ln(1+x)=sum_(n=1)^oo(-1)^(n-1)x^n/n#

Dies ist eine, die du dir merken solltest; es wird jedoch wie folgt abgeleitet:

#ln(1+x)=int1/(1+x)dx=int1/(1-(-x))dx#

#=intsum_(n=0)^oo(-1)^nx^n=sum_(n=0)^ooint(-1)^nx^n#

#ln(1+x)=C+sum_(n=0)^oo(-1)^nx^(n+1)/(n+1)# (Term-by-Term-Integration für die Serie durchgeführt)

Letting #x=0,#

#C=ln(1+0)=0#

Durchführen einer Indexverschiebung nach #n=1#bedeutet, alle zu ersetzen #n# in der serie mit #n-1#

#=sum_(n=1)^oo(-1)^(n-1)x^n/n#.

In diesem Wissen können wir unser gegebenes unbestimmtes Integral wie folgt umschreiben:

#intx^3sum_(n=1)^oo(-1)^(n-1)x^n/ndx#

Multiplizieren Sie in der #x^3# in die Serie. Wir können dies tun, weil in Bezug auf die Serie, #x# wird ein fester Wert sein. Alles was wir tun müssen, ist hinzuzufügen #3# zum Exponenten von #x^n, x^3x^n=x^(n+3)#

#intsum_(n=1)^oo(-1)^(n-1)x^(n+3)/ndx#

Der Konvergenzradius dieser Reihe beträgt #R=1,# denn das ist der Konvergenzradius der Potenzreihenerweiterung für #ln(1+x)#. Multiplikation in der #x^3# ändert den Konvergenzradius nicht.

Wir führen eine termingerechte Integration der Serien durch:

#sum_(n=1)^ooint(-1)^(n-1)x^(n+3)/ndx#

#=C+sum_(n=1)^oo(-1)^(n-1)x^(n+4)/(n(n+4))#

Wir verlassen #C# wie es hier ist.

Der Konvergenzradius ist noch #R=1.# Der Konvergenzradius ändert sich beim Integrieren der Reihe nicht (das Intervall kann).

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