Wie findet man $dy / dx$ durch implizite Differenzierung von $y = sin (xy)$ ?

$dy/dx={ycos(xy)}/ {1-xcos(xy)},$

,ODER,

$dy/dx={y^2sqrt(1-y^2)}/{y-sqrt(1-y^2)arc siny}.$

$y=sin(xy).$

$:. dy/dx," using the Chain Rule,"$

$=d/dx(sin(xy))={cos(xy)}{d/dx(xy)}," &, using the Product Rule,"$

$={x*d/dx(y)+y*d/dx(x)}cos(xy),$

$:. dy/dx=xcos(xy)dy/dx+ycos(xy),$

$rArr {1-xcos(xy)}dy/dx=ycos(xy).$

$:. dy/dx={ycos(xy)}/ {1-xcos(xy)}.$

Andernfalls $y=sin(xy) rArr arc siny=xy, or, x=(arc siny)/y.$

Daher unterscheiden sich beide Seiten bzgl $y,$ wir haben durch die Quotientenregel,

$dx/dy={y*d/dy(arc siny)-(arc siny)*d/dy(y)}/y^2,$

$={y*(1/sqrt(1-y^2))-(arc siny)*1}/y^2,$

$={y-sqrt(1-y^2)arc siny}/{y^2*sqrt(1-y^2)},$

Deswegen, $dy/dx={y^2sqrt(1-y^2)}/{y-sqrt(1-y^2)arc siny}.$

Ich überlasse es dem Fragesteller, zu zeigen, dass beide Antworten übereinstimmen.

Viel Spaß beim Rechnen!

Wie findet man dy / dx dy / dx durch implizite Differenzierung von y = sin (xy) y = sin (xy) ?