Infinitesimalrechnung

Eine Box mit quadratischem Boden und offenem Deckel muss ein Volumen von 32,000cm ^ 3 haben. Wie finden Sie die Abmessungen der Schachtel, die den Materialverbrauch minimieren? Das Volumen einer Box mit quadratischer Grundfläche #x# by #x# cm und höhe #h# cm ist #V=x^2h# Die Menge des verwendeten Materials ist direkt proportional zur Oberfläche, daher … Weiterlesen

Was ist das Integral von #int sin ^ 4 (x) dx #? Antworten: #int sin^4(x) dx=3/8x-1/4sin(2x)+1/32sin(4x)+C# Erläuterung: In diesem Integral geht es hauptsächlich um das clevere Umschreiben Ihrer Funktionen. Als Faustregel verwenden wir, wenn die Potenz gerade ist, die Doppelwinkelformel. Die Doppelwinkelformel lautet: #sin^2(theta)=1/2(1-cos(2theta))# Wenn wir unser Integral so aufteilen, #int sin^2(x)*sin^2(x) dx# Wir können … Weiterlesen

Was ist die Ableitung von #arcsin (2x) #? Die Ableitung dieser Art von trigonometrischer Funktion ergibt sich aus der folgenden allgemeinen Regel: If #y=arcsin(u)#, dann #y’=(u‘)/(sqrt(1-u^2))# Wie in diesem Fall unser #u=2x#, dann #u’=2# und wir können weitermachen 🙂 #(dy)/(dx)=2/sqrt(1-(2x)^2)=1/sqrt(1-4x^2)#

Was ist die Ableitung von #ln 5 #? Antworten: #0# Erläuterung: #ln5# ist eine Konstante. Auch wenn es nicht wie eine aussieht, ist es nur eine Zahl und keine Funktion. Die Ableitung einer beliebigen Konstanten, wie z #ln5#ist #color(blue)0#.

Wie finden Sie die Neigung der Tangente zur Kurve #y = 1 / sqrtx # an der Stelle, an der x = a ist? Sie können das Derivat finden und an Ihrem Punkt auswerten:

Wie finden Sie das Integral von # cos ^ 4 (x) dx #? Antworten: # int cos^4xdx = (sinxcos^3x)/4 + 3/8(cosxsinx) + 3/8x# Erläuterung: Schreiben: #cos^4x = cos^3x*cosx# und nach Teilen integrieren: #int cos^4xdx = int cos^3x cosx dx = int cos^3x d(sinx)# #int cos^4xdx = sinxcos^3x – int sinx d(cos^3x)# #int cos^4xdx = sinxcos^3x … Weiterlesen

Wie kann man #int lnx / x ^ 2 # durch die Methode der Integration nach Teilen integrieren? Antworten: # int (lnx)/x^2 dx = -(1+lnx)/x+C# Erläuterung: Wir suchen: # I = int (lnx)/x^2 dx # Wir können uns dann bewerben Integration in Teilstücken: Let # { (u,=lnx, => (du)/dx,=1/x), ((dv)/dx,=1/x^2, => v,=-1/x ) :}# Dann … Weiterlesen

Wie finden Sie das Limit von # (sqrt (1 + h) -1) / h #, wenn sich h 0 nähert? Antworten: Ich fand: #1/2# Erläuterung: Wenn Sie das Limit direkt ausprobieren, erhalten Sie die unbestimmte Form #0/0#; Um dies zu vermeiden, würde ich eine kleine Manipulation versuchen, eine Art "seltsame" inverse Rationalisierung (oranger Kreis). Guck … Weiterlesen

Wie binde ich # (tanx) ^ 2 # ein? Antworten: #tanx-x+C#. Erläuterung: Wir werden den Trigo benutzen. Identität # : sec^2x=tan^2x+1#. Daher #int(tanx)^2 dx=int tan^2xdx=int (sec^2x-1)dx# #=int sec^2xdx-int 1 dx=tanx-x+C#. Viel Spaß beim Rechnen!

Wenn ein zylindrischer Tank mit einem Radius von 5 Metern mit einer Geschwindigkeit von 3 Kubikmetern pro Minute mit Wasser gefüllt wird, wie schnell nimmt die Höhe des Wassers zu? Die Antwort ist #(dh)/(dt)=3/(25 pi)m/(min)#. Bei verwandten Raten benötigen wir eine Funktion, um die 2-Variablen in Beziehung zu setzen. In diesem Fall ist dies eindeutig … Weiterlesen