Wie vereinfacht man $((2n)!) / (N!)$ ?

Es gibt andere Schreibweisen, aber keine davon ist eine Vereinfachung.

Während es keine gibt Vereinfachung of $((2n)!)/(n!)$ gibt es andere Möglichkeiten, es auszudrücken. Beispielsweise

$((2n)!)/(n!) = prod_(k=0)^(n-1)(2n-k) = (2n)(2n-1)...(n+1)$

Dies folgt direkt aus der Definition der Fakultätsfunktion und der Aufhebung gemeinsamer Faktoren aus Zähler und Nenner.

$((2n)!)/(n!) = 2^nprod_(k=0)^(n-1)(2k+1) = 2^n(1*3*5*...*(2n-1))$

Ein kurzer Identitätsnachweis:
$((2n)!)/(n!) = 1/(n!)(1*2*3*...*2n)$

$=1/(n!)*(2*4*6*...*2n) (1*3*5*...*(2n-1))$

$=1/(n!)(1*2)(2*2)(3*2)...(n*2)(1*3*5*...*(2n-1))$

$=1/(n!)(1*2*3*...*n)2^n(1*3*5*...*(2n-1))$

$=1/(n!)n!*2^n(1*3*5*...*(2n-1))$

$=2^n(1*3*5*...*(2n-1))$

Welche Form am besten zu verwenden ist, hängt von der jeweiligen Situation ab

$((2n)!)/(n!)$

ist die prägnanteste.

Wie vereinfacht man ((2n)!) / (N!) ((2n)!) / (N!) ?