Wie vereinfacht man ((2n)!) / (N!) (2n)!N!?

Antworten:

Es gibt andere Schreibweisen, aber keine davon ist eine Vereinfachung.

Erläuterung:

Während es keine gibt Vereinfachung of ((2n)!)/(n!)(2n)!n!gibt es andere Möglichkeiten, es auszudrücken. Beispielsweise


((2n)!)/(n!) = prod_(k=0)^(n-1)(2n-k) = (2n)(2n-1)...(n+1)

Dies folgt direkt aus der Definition der Fakultätsfunktion und der Aufhebung gemeinsamer Faktoren aus Zähler und Nenner.


((2n)!)/(n!) = 2^nprod_(k=0)^(n-1)(2k+1) = 2^n(1*3*5*...*(2n-1))

Ein kurzer Identitätsnachweis:
((2n)!)/(n!) = 1/(n!)(1*2*3*...*2n)

=1/(n!)*(2*4*6*...*2n) (1*3*5*...*(2n-1))

=1/(n!)(1*2)(2*2)(3*2)...(n*2)(1*3*5*...*(2n-1))

=1/(n!)(1*2*3*...*n)2^n(1*3*5*...*(2n-1))

=1/(n!)n!*2^n(1*3*5*...*(2n-1))

=2^n(1*3*5*...*(2n-1))


Welche Form am besten zu verwenden ist, hängt von der jeweiligen Situation ab

((2n)!)/(n!)

ist die prägnanteste.