Wie vereinfacht man # ((2n)!) / (N!) #?

Während es keine gibt Vereinfachung of #((2n)!)/(n!)#gibt es andere Möglichkeiten, es auszudrücken. Beispielsweise

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#((2n)!)/(n!) = prod_(k=0)^(n-1)(2n-k) = (2n)(2n-1)...(n+1)#

Dies folgt direkt aus der Definition der Fakultätsfunktion und der Aufhebung gemeinsamer Faktoren aus Zähler und Nenner.

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#((2n)!)/(n!) = 2^nprod_(k=0)^(n-1)(2k+1) = 2^n(1*3*5*...*(2n-1))#

Ein kurzer Identitätsnachweis:
#((2n)!)/(n!) = 1/(n!)(1*2*3*...*2n)#

#=1/(n!)*(2*4*6*...*2n) (1*3*5*...*(2n-1))#

#=1/(n!)(1*2)(2*2)(3*2)...(n*2)(1*3*5*...*(2n-1))#

#=1/(n!)(1*2*3*...*n)2^n(1*3*5*...*(2n-1))#

#=1/(n!)n!*2^n(1*3*5*...*(2n-1))#

#=2^n(1*3*5*...*(2n-1))#

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Welche Form am besten zu verwenden ist, hängt von der jeweiligen Situation ab

#((2n)!)/(n!)#

ist die prägnanteste.