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Wie kann eine synthetische Division zur Faktorisierung eines Polynoms verwendet werden?

Hier ist ein vernünftiges Vorberechnungsbeispiel für Synthetische Abteilung um das Konzept zu veranschaulichen.

Angenommen, Sie hatten:

#2x^4 - 3x^3 - 5x^2 + 3x + 8#

Wie Joan sagte, hat dies einen Versuchs- und Irrtumsaspekt.

Schauen Sie sich alle Koeffizienten an und überlegen Sie, was a gemeinsamer Faktor könnte sein.

  • Wenn Sie keinen Null-Rest erhalten, funktioniert der Faktor nicht wirklich und Sie sollten es erneut versuchen.
  • Wenn alle möglichen Faktoren aufgebraucht sind, ist dies möglicherweise nicht faktorisierbar.

Hier können Sie versuchen, Faktoren zu berücksichtigen, die dem Koeffizienten vierter Ordnung entsprechen (#2#) und der Koeffizient nullter Ordnung (#8#).

  • #8# hat Faktoren von #1, 2, 4#, und #8#.
  • #2# hat Faktoren von #1# und #2#.

Man könnte also sagen, dass die möglichen Faktoren sind #pmp/q#, Wobei #p# besteht aus den Faktoren des Koeffizienten nullten Grades und #q# besteht aus den Faktoren des höchsten Koeffizienten.

Sie können also Faktoren haben von:

#pm[1, 2, 4, 8, 1/2]#

So können Sie alle diese versuchen (#2/2#, #4/2#, und #8/2# sind Duplikate). Denken Sie daran, wenn #-a# wird als das verwendet, was im synthetischen Teilungsprozess in der linken Ecke steht, es entspricht #x+a#.

Wir werden verwenden #-1# Hier. Ich neige dazu, es zu versuchen #1# und #-1# zuerst, und steigen Sie in Wert, und versuchen Sie die Brüche zuletzt.

#ul(-1|)" "2" "-3" "-5" "" "3" "" "8#

Lass die herunter #2#und multiplizieren mit #-1# bekommen #-2#.

#ul(-1 |)" "2" "-3" "-5" "" "3" "" "8#
#ul(" "" "" "" "-2" "" "" "" "" "" "" "" ")#
#" "" "color(white)(.)2#

Add #-3# und #-2#und multiplizieren Sie das Ergebnis #-5# by #-1# aufs Neue.

#ul(-1 |)" "2" "-3" "-5" "" "3" "" "8#
#ul(" "" "" "" "-2" "" "5" "" "" "" "" "" ")#
#" "" "color(white)(.)2" "-5#

Wiederholen, bis Sie fertig sind.

Add #-3# und #-2#und multiplizieren Sie das Ergebnis #-1# by #-1# aufs Neue.

#ul(-1 |)" "2" "-3" "-5" "" "3" "" "8#
#ul(" "" "" "" "-2" "" "5" "color(white)(.)" "0color(white)(.)" "-3" ")#
#" "" "color(white)(.)2" "-5" "" "0" "" "3" "" "5#

Ihre Antwort hier ist zufällig, wo 2 entspricht #2x^3#, da Sie ein Polynom vierter Ordnung durch ein Polynom erster Ordnung geteilt haben.

Eine Möglichkeit, das Ergebnis auszudrücken, ist:

#(2x^4 - 3x^3 - 5x^2 + 3x + 8)/(x+1)#

#= color(blue)(overbrace(2x^3 - 5x^2 + 0x + 3)^"Quotient Term" + overbrace(5/(x+1))^"Remainder Term")#

where the #5/(x+1)# was written by saying that the last value below the horizontal bar (below #-2, 5, 0, -3#), being #5#, is divided by the #x pm a# equation such that #x pm a = 0#. So, #x+1# indicates that the factor we have just used is #-1#.

(Natürlich, wenn der Rest ist #0#, Sie haben am Ende keine Restfraktion.)