Wie kann eine synthetische Division zur Faktorisierung eines Polynoms verwendet werden?

Hier ist ein vernünftiges Vorberechnungsbeispiel für Synthetische Abteilung um das Konzept zu veranschaulichen.

Angenommen, Sie hatten:

$2x^4 - 3x^3 - 5x^2 + 3x + 8$

Wie Joan sagte, hat dies einen Versuchs- und Irrtumsaspekt.

Schauen Sie sich alle Koeffizienten an und überlegen Sie, was a gemeinsamer Faktor könnte sein.

Wenn Sie keinen Null-Rest erhalten, funktioniert der Faktor nicht wirklich und Sie sollten es erneut versuchen.
Wenn alle möglichen Faktoren aufgebraucht sind, ist dies möglicherweise nicht faktorisierbar.

Hier können Sie versuchen, Faktoren zu berücksichtigen, die dem Koeffizienten vierter Ordnung entsprechen ( $2$ ) und der Koeffizient nullter Ordnung ( $8$ ).

$8$ hat Faktoren von $1, 2, 4$ , und $8$ .
$2$ hat Faktoren von $1$ und $2$ .

Man könnte also sagen, dass die möglichen Faktoren sind $pmp/q$ , Wobei $p$ besteht aus den Faktoren des Koeffizienten nullten Grades und $q$ besteht aus den Faktoren des höchsten Koeffizienten.

Sie können also Faktoren haben von:

$pm[1, 2, 4, 8, 1/2]$

So können Sie alle diese versuchen ( $2/2$ , $4/2$ , und $8/2$ sind Duplikate). Denken Sie daran, wenn $-a$ wird als das verwendet, was im synthetischen Teilungsprozess in der linken Ecke steht, es entspricht $x+a$ .

Wir werden verwenden $-1$ Hier. Ich neige dazu, es zu versuchen $1$ und $-1$ zuerst, und steigen Sie in Wert, und versuchen Sie die Brüche zuletzt.

$ul(-1|)" "2" "-3" "-5" "" "3" "" "8$

Lass die herunter $2$ und multiplizieren mit $-1$ bekommen $-2$ .

$ul(-1 |)" "2" "-3" "-5" "" "3" "" "8$
$ul(" "" "" "" "-2" "" "" "" "" "" "" "" ")$
$" "" "color(white)(.)2$

Add $-3$ und $-2$ und multiplizieren Sie das Ergebnis $-5$ by $-1$ aufs Neue.

$ul(-1 |)" "2" "-3" "-5" "" "3" "" "8$
$ul(" "" "" "" "-2" "" "5" "" "" "" "" "" ")$
$" "" "color(white)(.)2" "-5$

Wiederholen, bis Sie fertig sind.

Add $-3$ und $-2$ und multiplizieren Sie das Ergebnis $-1$ by $-1$ aufs Neue.

$ul(-1 |)" "2" "-3" "-5" "" "3" "" "8$
$ul(" "" "" "" "-2" "" "5" "color(white)(.)" "0color(white)(.)" "-3" ")$
$" "" "color(white)(.)2" "-5" "" "0" "" "3" "" "5$

Ihre Antwort hier ist zufällig, wo 2 entspricht $2x^3$ , da Sie ein Polynom vierter Ordnung durch ein Polynom erster Ordnung geteilt haben.

Eine Möglichkeit, das Ergebnis auszudrücken, ist:

$(2x^4 - 3x^3 - 5x^2 + 3x + 8)/(x+1)$

$= color(blue)(overbrace(2x^3 - 5x^2 + 0x + 3)^"Quotient Term" + overbrace(5/(x+1))^"Remainder Term")$

where the $5/(x+1)$ was written by saying that the last value below the horizontal bar (below $-2, 5, 0, -3$ ), being $5$ , is divided by the $x pm a$ equation such that $x pm a = 0$ . So, $x+1$ indicates that the factor we have just used is $-1$ .

(Natürlich, wenn der Rest ist $0$ , Sie haben am Ende keine Restfraktion.)