Wie finden Sie die Punkte auf der Ellipse # 4x ^ 2 + y ^ 2 = 4 #, die am weitesten vom Punkt # (1,0) # entfernt sind?

Lassen #(x,y)# sei ein Punkt auf der Ellipse #4x^2+y^2=4#.

#Leftrightarrow y^2=4-4x^2 Leftrightarrow y=pm2sqrt{1-x^2}#

Die Distanz #d(x)# zwischen #(x,y)# und #(1,0)# kann ausgedrückt werden als

#d(x)=sqrt{(x-1)^2+y^2}#

by #y^2=4-4x^2#,

#=sqrt{(x-1)^2+4-4x^2}#

durch Multiplikation aus

#=sqrt{-3x^2-2x+5}#

Lassen Sie uns maximieren #f(x)=-3x^2-2x+5#

#f'(x)=-6x-2=0 Rightarrow x=-1/3# (der einzige kritische Wert)

#f''(x)=-6 Rightarrow x=-1/3# maximiert #f(x)# und #d(x)#

Da #y=pm2sqrt{1-(-1/3)^2}=pm{4sqrt{2}}/3#,

Die entferntesten Punkte sind #(-1/3,pm{4sqrt{2}}/3)#.

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