Wie finden Sie die Punkte auf der Ellipse $4 x^{2} + y^{2} = 4$ $4x ^ 2 + y ^ 2 = 4$ , die am weitesten vom Punkt $(1, 0)$ $(1,0)$ entfernt sind?

Lassen $(x, y)$ $(x,y)$ sei ein Punkt auf der Ellipse $4 x^{2} + y^{2} = 4$ $4x^2+y^2=4$ .

$\Leftrightarrow y^{2} = 4 - 4 x^{2} \Leftrightarrow y = \pm 2 \sqrt{1 - x^{2}}$ $Leftrightarrow y^2=4-4x^2 Leftrightarrow y=pm2sqrt{1-x^2}$

Die Distanz $d (x)$ $d(x)$ zwischen $(x, y)$ $(x,y)$ und $(1, 0)$ $(1,0)$ kann ausgedrückt werden als

$d (x) = \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}}$ $d(x)=sqrt{(x-1)^2+y^2}$

by $y^{2} = 4 - 4 x^{2}$ $y^2=4-4x^2$ ,

$= \sqrt{{(x - 1)}^{2} + 4 - 4 x^{2}}$ $=sqrt{(x-1)^2+4-4x^2}$

durch Multiplikation aus

$= \sqrt{- 3 x^{2} - 2 x + 5}$ $=sqrt{-3x^2-2x+5}$

Lassen Sie uns maximieren $f (x) = - 3 x^{2} - 2 x + 5$ $f(x)=-3x^2-2x+5$

$f'(x)=-6x-2=0 Rightarrow x=-1/3$ (der einzige kritische Wert)

$f''(x)=-6 Rightarrow x=-1/3$ maximiert $f(x)$ und $d(x)$

Da $y=pm2sqrt{1-(-1/3)^2}=pm{4sqrt{2}}/3$ ,

Die entferntesten Punkte sind $(-1/3,pm{4sqrt{2}}/3)$ .

Wie finden Sie die Punkte auf der Ellipse 4x ^ 2 + y ^ 2 = 4 4x2+y2=4 4x ^ 2 + y ^ 2 = 4 , die am weitesten vom Punkt (1,0) (1,0) (1,0) entfernt sind?