Wie finden Sie die Maclaurin-Reihe für `arctan x`, zentriert bei x = 0?

Beginnen Sie mit der Summe von a geometrische Reihe, welches ist:

`sum_(n=0)^oo xi^n = 1/(1-xi)`

jetzt ersetzen: `xi = -t^2` und wir haben:

`sum_(n=0)^oo (-t^2)^n = 1/(1+t^2)`

oder:

`sum_(n=0)^oo (-1)^nt^(2n) = 1/(1+t^2)`

Wenn wir jetzt die Reihe Begriff für Begriff integrieren, haben wir:

`sum_(n=0)^oo int_0^x (-1)^nt^(2n)dt = int_0^x (dt)/(1+t^2)`

Im zweiten Glied haben wir ein Standardintegral:

`int_0^x (dt)/(1+t^2) = arctanx`

also haben wir:

`arctanx = sum_(n=0)^oo int_0^x (-1)^nt^(2n)dt = sum_(n=0)^oo (-1)^n [t^(2n+1)/(2n+1)]_0^x`

und schlussendlich:

`arctanx = sum_(n=0)^oo (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)`