Dezember 16, 2019

von Avivah

Wie finden Sie den Durchschnittswert von $y = x^{2} \sqrt{x^{3} + 1}$ $y = x ^ 2sqrt (x ^ 3 + 1)$ im Intervall $[0, 2]$ $[0, 2]$ ?

Antworten:

Der Durchschnittswert ist $\frac{26}{9}$ $26/9$ .

Erläuterung:

Die Formel für der Durchschnittswert einer Funktion $A$ $A$ is

$A = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} F (x)$ $A = 1/(b - a) int_a^b F(x)$

woher $F (x)$ $F(x)$ ist durchgehend eingeschaltet $[a, b]$ $[a, b]$

$A = \frac{1}{2 - 0} \int_{0}^{2} x^{2} \sqrt{x^{3} + 1} d x$ $A = 1/(2 - 0) int_0^2 x^2sqrt(x^3 + 1)dx$

Lassen $u = x^{3} + 1$ $u = x^3 +1$ . Dann $d u = 3 x^{2} d x$ $du = 3x^2dx$ und $d x = \frac{d u}{3 x^{2}}$ $dx = (du)/(3x^2)$ .

$A = \frac{1}{2} \int_{1}^{9} x^{2} \sqrt{u} \frac{d u}{3 x^{2}}$ $A = 1/2 int_1^9 x^2sqrt(u) (du)/(3x^2)$

$A = \frac{1}{6} \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u$ $A = 1/6 int_1^9 sqrt(u) du$

$A = \frac{1}{6} {[\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]}_{1}^{\frac{3}{2}}$ $A = 1/6[2/3u^(3/2)]_1^9$

$A = \frac{1}{6} [\frac{2}{3} {(9)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} {(1)}^{\frac{3}{2}}]$ $A = 1/6[2/3(9)^(3/2) - 2/3(1)^(3/2)]$

$A = \frac{1}{6} [18 - \frac{2}{3}]$ $A = 1/6[18 - 2/3]$

$A = 3 - \frac{1}{9}$ $A = 3 - 1/9$

$A = \frac{26}{9}$ $A = 26/9$

Hoffentlich hilft das!