Was ist die Taylor-Reihe von f (x) = arctan (x) f(x)=arctan(x)?
f(x)=sum_{n=1}^infty(-1)^n{x^{2n+1}}/{2n+1}f(x)=∞∑n=1(−1)nx2n+12n+1
Sehen wir uns einige Details an.
f(x)=arctanxf(x)=arctanx
f'(x)=1/{1+x^2}=1/{1-(-x^2)}
Denken Sie daran, dass die geometrische Potenzreihe
1/{1-x}=sum_{n=0}^infty x^n
Durch Ersetzen x by -x^2,
Rightarrow 1/{1-(-x^2)}=sum_{n=0}^infty(-x^2)^n=sum_{n=0}^infty(-1)^nx^{2n}
Damit,
f'(x)=sum_{n=0}^infty(-1)^nx^{2n}
Durch die Integration,
f(x)=int sum_{n=0}^infty(-1)^nx^{2n}dx
durch Setzen des Integralzeichens in die Summation,
=sum_{n=0}^infty int (-1)^n x^{2n}dx
von Power Rule,
=sum_{n=1}^infty(-1)^n{x^{2n+1}}/{2n+1}+C
Da f(0)=arctan(0)=0,
f(0)=sum_{n=1}^infty(-1)^n{(0)^{2n+1}}/{2n+1}+C=C Rightarrow C=0
Daher
f(x)=sum_{n=1}^infty(-1)^n{x^{2n+1}}/{2n+1}