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Was ist die Taylor-Reihe von f (x) = arctan (x) ?

f(x)=sum_{n=1}^infty(-1)^n{x^{2n+1}}/{2n+1}

Sehen wir uns einige Details an.

f(x)=arctanx

f'(x)=1/{1+x^2}=1/{1-(-x^2)}

Denken Sie daran, dass die geometrische Potenzreihe

1/{1-x}=sum_{n=0}^infty x^n

Durch Ersetzen x by -x^2,

Rightarrow 1/{1-(-x^2)}=sum_{n=0}^infty(-x^2)^n=sum_{n=0}^infty(-1)^nx^{2n}

Damit,

f'(x)=sum_{n=0}^infty(-1)^nx^{2n}

Durch die Integration,

f(x)=int sum_{n=0}^infty(-1)^nx^{2n}dx

durch Setzen des Integralzeichens in die Summation,

=sum_{n=0}^infty int (-1)^n x^{2n}dx

von Power Rule,

=sum_{n=1}^infty(-1)^n{x^{2n+1}}/{2n+1}+C

Da f(0)=arctan(0)=0,

f(0)=sum_{n=1}^infty(-1)^n{(0)^{2n+1}}/{2n+1}+C=C Rightarrow C=0

Daher

f(x)=sum_{n=1}^infty(-1)^n{x^{2n+1}}/{2n+1}