Was ist die Taylor-Reihe von #f (x) = arctan (x) #?

#f(x)=sum_{n=1}^infty(-1)^n{x^{2n+1}}/{2n+1}#

Sehen wir uns einige Details an.

#f(x)=arctanx#

#f'(x)=1/{1+x^2}=1/{1-(-x^2)}#

Denken Sie daran, dass die geometrische Potenzreihe

#1/{1-x}=sum_{n=0}^infty x^n#

Durch Ersetzen #x# by #-x^2#,

#Rightarrow 1/{1-(-x^2)}=sum_{n=0}^infty(-x^2)^n=sum_{n=0}^infty(-1)^nx^{2n}#

Damit,

#f'(x)=sum_{n=0}^infty(-1)^nx^{2n}#

Durch die Integration,

#f(x)=int sum_{n=0}^infty(-1)^nx^{2n}dx#

durch Setzen des Integralzeichens in die Summation,

#=sum_{n=0}^infty int (-1)^n x^{2n}dx#

von Power Rule,

#=sum_{n=1}^infty(-1)^n{x^{2n+1}}/{2n+1}+C#

Da #f(0)=arctan(0)=0#,

#f(0)=sum_{n=1}^infty(-1)^n{(0)^{2n+1}}/{2n+1}+C=C
Rightarrow C=0#

Daher

#f(x)=sum_{n=1}^infty(-1)^n{x^{2n+1}}/{2n+1}#