Was ist die McLaurin-Reihe von #f (x) = sinh (x)?

Antworten:

$sinhx =sum_(k=0)^oo x^(2k+1)/((2k+1)!)$

Erläuterung:

Wir können die McLaurin-Reihe für ableiten $sinh(x)$ von der einen zur Exponentialfunktion: wie für jeden $n$ :

$[(d^n)/(dx^n) e^x ]_(x=0) = e^0=1$

die Mc Laurin Serie für $e^x$ ist:

$e^x=sum_(n=0)^oo x^n/(n!)$

Jetzt als:

$sinhx = (e^x-e^(-x))/2$

Wir haben:

$sinhx = 1/2[sum_(n=0)^oo x^n/(n!)-sum_(n=0)^oo (-x)^n/(n!)]$

und es ist leicht zu sehen, dass für $n$ Auch die Bedingungen sind gleich und stornieren sich gegenseitig, sodass nur die ungeraden Bestellbedingungen übrig bleiben:

$sinhx = 1/2[sum_(k=0)^oo x^(2k+1)/((2k+1)!)-sum_(k=0)^oo (-1)^(2k+1)x^(2k+1)/((2k+1)!)] = 1/2[sum_(k=0)^oo x^(2k+1)/((2k+1)!)+sum_(k=0)^oo x^(2k+1)/((2k+1)!)] = sum_(k=0)^oo x^(2k+1)/((2k+1)!)$

Wir können die gleiche Schlussfolgerung direkt ziehen und feststellen, dass:

$d/(dx) sinhx = coshx$

$d^2/(dx^2) sinhx = d/(dx)coshx = sinhx$

damit alle Ableitungen ungerader Ordnung gleich sind $coshx$ und alle Ableitungen gleicher Ordnung sind gleich $sinhx$

Aber $sinh(0) = 0$ und $cosh(0) = 1$ das gleiche Ergebnis zu erzielen.