Was ist die Grenze, wenn sich x der negativen Unendlichkeit von #x + sqrt (x ^ 2 + 2x) # nähert?

Zuerst werden wir versuchen, den Wert einzufügen:
#lim_{x to -oo}x+sqrt(x^2+2x) = -oo + sqrt(oo-oo)#
Wir stoßen bereits auf ein Problem: Es darf einfach nicht sein #oo-oo#Es ist wie eine Division durch Null.
Wir müssen einen anderen Ansatz ausprobieren.

Immer wenn ich diese Art von Limit sehe, versuche ich einen Trick anzuwenden:
#lim_{x to -oo}x+sqrt(x^2+2x)#
#= lim_{x to -oo}x+sqrt(x^2+2x)*(x-sqrt(x^2+2x))/(x-sqrt(x^2+2x))#
Dies sind die gleichen, da der Faktor, mit dem wir multiplizieren, im Wesentlichen ist #1#.
Warum machen wir das? Weil es eine Formel gibt, die besagt: #(a-b)(a+b) = a^2-b^2#
In diesem Fall #a = x# und #b = sqrt(x^2+2x)#
Wenden wir diese Formel an:
#lim_{x to -oo}(x^2-(sqrt(x^2+2x))^2)/(x-sqrt(x^2+2x))#
#= lim_{x to -oo}(x^2-x^2-2x)/(x-sqrt(x^2+2x))#
#= lim_{x to -oo}(-2x)/(x-sqrt(x^2+2x))#

Jetzt werden wir einen anderen Trick anwenden. Wir werden dieses verwenden, weil wir das bekommen wollen #x^2# aus der Quadratwurzel:
#lim_{x to -oo}(-2x)/(x-sqrt(x^2(1+2/x))#
Wenn Sie genau hinschauen, sehen Sie, dass es dasselbe ist.
Nun könnte man das sagen #sqrt(x^2) = x#, aber daran muss man sich erinnern #x# ist eine negative Zahl. Weil wir die positive Quadratwurzel nehmen, #sqrt(x^2) = -x# in diesem Fall.
#= lim_{x to -oo}(-2x)/(x+xsqrt(1+2/x))#
#= lim_{x to -oo}(-2x)/(x(1+sqrt(1+2/x)))#
Wir können die stornieren #x#:
#= lim_{x to -oo}(-2)/(1+sqrt(1+2/x))#
Und jetzt können wir endlich den Wert einstecken:

#= -2/(1+sqrt(1+2/-oo))#

Eine Zahl geteilt durch die Unendlichkeit ist immer #0#:
#= -2/(1+sqrt(1+0)) = -2/(1+1) = -2/2 = -1#

Dies ist die endgültige Antwort.
Hoffe es hilft.

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