Was ist die Grenze, wenn sich x der negativen Unendlichkeit von `x + sqrt (x ^ 2 + 2x)` nähert?

Zuerst werden wir versuchen, den Wert einzufügen:
`lim_{x to -oo}x+sqrt(x^2+2x) = -oo + sqrt(oo-oo)`
Wir stoßen bereits auf ein Problem: Es darf einfach nicht sein `oo-oo`Es ist wie eine Division durch Null.
Wir müssen einen anderen Ansatz ausprobieren.

Immer wenn ich diese Art von Limit sehe, versuche ich einen Trick anzuwenden:
`lim_{x to -oo}x+sqrt(x^2+2x)`
`= lim_{x to -oo}x+sqrt(x^2+2x)*(x-sqrt(x^2+2x))/(x-sqrt(x^2+2x))`
Dies sind die gleichen, da der Faktor, mit dem wir multiplizieren, im Wesentlichen ist `1`.
Warum machen wir das? Weil es eine Formel gibt, die besagt: `(a-b)(a+b) = a^2-b^2`
In diesem Fall `a = x` und `b = sqrt(x^2+2x)`
Wenden wir diese Formel an:
`lim_{x to -oo}(x^2-(sqrt(x^2+2x))^2)/(x-sqrt(x^2+2x))`
`= lim_{x to -oo}(x^2-x^2-2x)/(x-sqrt(x^2+2x))`
`= lim_{x to -oo}(-2x)/(x-sqrt(x^2+2x))`

Jetzt werden wir einen anderen Trick anwenden. Wir werden dieses verwenden, weil wir das bekommen wollen `x^2` aus der Quadratwurzel:
`lim_{x to -oo}(-2x)/(x-sqrt(x^2(1+2/x))`
Wenn Sie genau hinschauen, sehen Sie, dass es dasselbe ist.
Nun könnte man das sagen `sqrt(x^2) = x`, aber daran muss man sich erinnern `x` ist eine negative Zahl. Weil wir die positive Quadratwurzel nehmen, `sqrt(x^2) = -x` in diesem Fall.
`= lim_{x to -oo}(-2x)/(x+xsqrt(1+2/x))`
`= lim_{x to -oo}(-2x)/(x(1+sqrt(1+2/x)))`
Wir können die stornieren `x`:
`= lim_{x to -oo}(-2)/(1+sqrt(1+2/x))`
Und jetzt können wir endlich den Wert einstecken:

`= -2/(1+sqrt(1+2/-oo))`

Eine Zahl geteilt durch die Unendlichkeit ist immer `0`:
`= -2/(1+sqrt(1+0)) = -2/(1+1) = -2/2 = -1`

Dies ist die endgültige Antwort.
Hoffe es hilft.