Ein rechter Zylinder ist in eine Kugel mit dem Radius r eingeschrieben. Wie finden Sie das größtmögliche Volumen eines solchen Zylinders?

Antworten:

$V = \frac{4 \sqrt{3} π r^{3}}{9}$ $V=(4 sqrt3 pi r^3)/9$

Erläuterung:

Dieses Optimierungsproblem besteht aus mehreren Schritten.

1.) Finden Sie die Gleichung für das Volumen eines Zylinders, der in eine Kugel eingeschrieben ist.
2.) Ermitteln Sie die Ableitung der Volumengleichung.
3.) Setzen Sie die Ableitung auf Null und lösen Sie, um die kritischen Punkte zu identifizieren.
4.) Stecken Sie die kritischen Punkte in die Volumengleichung, um das maximale Volumen zu ermitteln.

Der beste Ausgangspunkt ist das Zeichnen eines Diagramms. Das Bild unten zeigt den in die Kugel eingeschriebenen Zylinder. Angesichts der Höhe, $h$ $h$ finden wir den Radius des Zylinders in Bezug auf $r$ $r$ unter Verwendung des Satzes von Pythagoras.

Bildquelle hier eingeben

Beachten Sie, dass $h$ $h$ bezieht sich auf die Hälfte der Gesamthöhe des Zylinders. Ich habe mich für die Verwendung entschieden $h$ $h$ statt $\frac{h}{2}$ $h/2$ um die Dinge später zu vereinfachen.

Um das Volumen unseres Zylinders zu bestimmen, müssen wir den oberen Bereich mit der Gesamthöhe des Zylinders multiplizieren. Mit anderen Worten;

$V = π {(radius of cylinder)}^{2} (height of cylinder)$ $V= pi ("radius of cylinder")^2 ("height of cylinder")$

$V = π {(\sqrt{r^{2} - h^{2}})}^{2} (2 h)$ $V = pi (sqrt(r^2-h^2))^2(2h)$

$V = 2 π h (r^{2} - h^{2})$ $V = 2 pi h (r^2-h^2)$

Dies ist unsere Lautstärkefunktion. Als nächstes nehmen wir die Ableitung der Lautstärkefunktion und setzen sie gleich Null. Wenn wir die bewegen $h$ $h$ In der Klammer brauchen wir nur das Machtregel um das Derivat zu bekommen.

$V = 2 π (r^{2} h - h^{3})$ $V=2 pi (r^2h-h^3)$

$\frac{d}{d x} V (h) = 2 π (r^{2} - 3 h^{2}) = 0$ $d/(dx) V(h) = 2 pi (r^2-3h^2) = 0$

Die $2 π$ $2pi$ teilt sich auf und wir bleiben zurück;

$r^{2} - 3 h^{2} = 0$ $r^2-3h^2 = 0$

Nach einigem Umstellen;

$h^{2} = \frac{r^{2}}{3}$ $h^2 = r^2/3$

Nimm die Quadratwurzel von beiden Seiten.

$h = \frac{r}{\sqrt{3}}$ $h = r/sqrt3$

Dies ist unsere optimierte Höhe. Um die optimierte Lautstärke zu finden, müssen wir diese in die Lautstärkefunktion einstecken.

$V = 2 π h (r^{2} - h^{2}) = 2 π (\frac{r}{\sqrt{3}}) (r^{2} - {(\frac{r}{\sqrt{3}})}^{2})$ $V=2 pi h(r^2-h^2)=2 pi (r/sqrt3)(r^2-(r/sqrt3)^2)$

Vereinfachen.

$V = \frac{2 π r}{\sqrt{3}} (r^{2} - \frac{r^{2}}{3})$ $V=(2 pi r)/sqrt3(r^2-r^2/3)$

$V = \frac{2 π r}{\sqrt{3}} (\frac{3 r^{2} - r^{2}}{3})$ $V=(2 pi r)/sqrt3((3r^2-r^2)/3)$

$V = \frac{2 π r}{\sqrt{3}} (\frac{2 r^{2}}{3})$ $V=(2 pi r)/sqrt3((2r^2)/3)$

$V = \frac{4 π r^{3}}{3 \sqrt{3}}$ $V=(4 pi r^3)/(3sqrt3)$

$V = \frac{4 \sqrt{3} π r^{3}}{9}$ $V=(4 sqrt3 pi r^3)/9$

Dies ist das optimierte Volumen für den Zylinder. Es ist ein guter Scheck, um das zu bemerken $V$ $V$ ist in Bezug auf $r^{3}$ $r^3$ da Volumen sollte kubische Einheiten haben. Mit anderen Worten, wenn unser Radius in Metern angegeben würde, wären unsere Volumeneinheiten $m^{3}$ $"m"^3$