Ein konischer Pappbecher ist 10 cm groß und hat einen Radius von 30 cm. Der Becher wird mit Wasser gefüllt, so dass der Wasserstand mit einer Geschwindigkeit von 2 cm / sec ansteigt. Mit welcher Geschwindigkeit wird Wasser in die Tasse gegossen, wenn der Wasserstand 9 cm beträgt?

Lassen Sie uns die folgenden Variablen einrichten:

# {(R, "Radius of conical cup (cm)",=30 cm), (H, "Height of the conical cup (cm)",=10 cm), (t, "time", "(s)"), (h, "Height of water in cup at time t","(cm)"), (r, "Radius of water at time t","(cm)" ), (V, "Volume of water at time t", "(cm"^3")") :} #

Unser Ziel ist es zu finden #(dV)/dt# wann #h=9# und wir sind gegeben #(dh)/dt=2#

Durch ähnliche Dreiecke haben wir

# r:h = R:H #

# :. r/h=30/10 => r = 3h #

Das Volumen eines Kegels beträgt #1/3pir^2h#, So:

# V = 1/3 pi r^2 h #
# = 1/3 pi (3h)^2 h #
# = 1/3 pi 9h^2 h #
# = 3pi h^3 #

Unterscheidung wrt #h# wir bekommen:

# (dV)/(dh) = 9pih^2 #

Und Anwenden der Kettenregel haben wir:

# (dV)/(dt) = (dV)/(dh) * (dh)/(dt) #
# = 9pih^2 * 2 #
# = 18pih^2 #

Wenn also h = 9 ist, haben wir:

# [ (dV)/(dt) ]_(h=9) = 18pi(9^2) = 1458pi cm^3s^-1 #