Ein konischer Pappbecher ist 10 cm groß und hat einen Radius von 30 cm. Der Becher wird mit Wasser gefüllt, so dass der Wasserstand mit einer Geschwindigkeit von 2 cm / sec ansteigt. Mit welcher Geschwindigkeit wird Wasser in die Tasse gegossen, wenn der Wasserstand 9 cm beträgt?

Antworten:

Preis $= 1458pi cm^3s^-1$
$= 4580.44 cm^3s^-1 (2dp)$

Erläuterung:

Lassen Sie uns die folgenden Variablen einrichten:

Bildquelle hier eingeben

${(R, "Radius of conical cup (cm)",=30 cm), (H, "Height of the conical cup (cm)",=10 cm), (t, "time", "(s)"), (h, "Height of water in cup at time t","(cm)"), (r, "Radius of water at time t","(cm)" ), (V, "Volume of water at time t", "(cm"^3")") :}$

Unser Ziel ist es zu finden $(dV)/dt$ wann $h=9$ und wir sind gegeben $(dh)/dt=2$

Durch ähnliche Dreiecke haben wir

$r:h = R:H$

$:. r/h=30/10 => r = 3h$

Das Volumen eines Kegels beträgt $1/3pir^2h$ , So:

$V = 1/3 pi r^2 h$
$= 1/3 pi (3h)^2 h$
$= 1/3 pi 9h^2 h$
$= 3pi h^3$

Unterscheidung wrt $h$ wir bekommen:

$(dV)/(dh) = 9pih^2$

Und Anwenden der Kettenregel haben wir:

$(dV)/(dt) = (dV)/(dh) * (dh)/(dt)$
$= 9pih^2 * 2$
$= 18pih^2$

Wenn also h = 9 ist, haben wir:

$[ (dV)/(dt) ]_(h=9) = 18pi(9^2) = 1458pi cm^3s^-1$