Der Radius einer Kugel nimmt mit einer Geschwindigkeit von 4 mm / s zu. Wie schnell nimmt das Volumen zu, wenn der Durchmesser 40 mm beträgt?

Mit #r# den Radius darstellen und #t# Für die Zeit können Sie die erste Rate schreiben als:

#(dr)/(dt) = 4 "mm"/"s"#

#r = r(t) = 4t#

Die Formel für das Volumen einer festen Kugel lautet:

#V = V(r) = 4/3pir^3#

Wenn Sie die Ableitung beider Seiten in Bezug auf die Zeit nehmen ...

#(dV)/(dt) = 4/3pi(3r^2)((dr)/(dt))#

... erinnere mich an die Kettenregel in implizite Differenzierung. Das allgemeine Format dafür ist:

#(dV(r))/(dt) = (dV(r))/(dr(t))*(dr(t))/(dt)#

with #V = V(r)# and #r = r(t)#.

Also, wenn Sie die Ableitung des Volumens nehmen, ist es in Bezug auf seine Variable #r# #((dV(r))/(dr(t)))#, aber wir wollen es in Bezug auf tun #t# #((dV(r))/(dt))#. Da #r = r(t)# und #r(t)# ist implizit eine Funktion von #t#Damit die Gleichheit funktioniert, müssen Sie mit der Ableitung der Funktion multiplizieren #r(t)# in Bezug auf #t# #((dr(t))/(dt))#auch. Auf diese Weise nehmen Sie eine Ableitung entlang einer Kette von Funktionen, sozusagen (#V -> r -> t#).

Nun können Sie einfach was anschließen #r# ist (beachten Sie, dass Sie Durchmesser gegeben wurden) und was #(dr)/(dt)# Denn #(dV)/(dt)# beschreibt die Änderungsrate des Volumens über die Zeit einer Kugel.

#(dV)/(dt) = 4/3pi(3(20 "mm")^2)(4 "mm"/"s")#

#= 6400pi "mm"^3/"s"#

Da die Zeit nur zunimmt und der Radius in Abhängigkeit von der Zeit zunimmt und das Volumen in Abhängigkeit von der Konstante des gewürfelten Radius zunimmt, nimmt das Volumen schneller zu als der Radius, sodass wir nicht einfach sagen können, dass es sich um zwei Raten handelt das Gleiche.