Wir benötigen das Standardergebnis:

#d/dx lnx=1/x#

Nach der Regel der Protokolle:

# y=ln3x #
# =ln3+lnx #

# :. dy/dx=0+1/x = 1/x #

Oder wir können die implizit anwenden Kettenregel:

# dy/dx = 1/(3x) * 3 = 1/x #

Ein Beispiel ist, wenn die rechten und linken Grenzen unterschiedlich sind. In diesem speziellen Punkt gibt es also kein Limit.
Zum Beispiel: Wenn Sie ein Gas komprimieren, ändert sich das Volumen abrupt (in wechselnder Phase):

Sie können ein Limit für haben #p# Annäherung #100# Torr von links (#=0.8 l#) oder richtig (#0.3 l#) aber nicht in #p=100# Torr.
Damit: #lim_(p->100)V=# existiert nicht.

Um einige interessante Fälle zusammenzufassen:

#f'(x)=d/(dx)[xln(x)]-d/(dx)[x]#

#f'(x)=d/(dx)[x]*ln(x)+x*d/(dx)[ln(x)]-1#
{Produktregel: # d / (dx) [f (x) g (x)] = f '(x) g (x) + f (x) g' (x) # }

#f'(x)=1*ln(x)+x*1/x-1#
Denken Sie daran, dass das Derivat von #ln (x) # ist # 1 / x # .}

#color(red)(f'(x)=ln(x))cancel(+x/x)cancel(-1)#

Die Funktion kann umgeschrieben werden als

#(2x)^(1/2)#

Verwenden Sie zur Unterscheidung die Machtregel und Kettenregel.

#d/dx[(2x)^(1/2)]=1/2(2x)^(-1/2)d/dx[2x]#

Differenzieren mit der Potenzregel ergibt die #1/2(2x)^(-1/2)# Teil, und durch die Kettenregel müssen Sie dies mit der Ableitung der internen Funktion multiplizieren, die ist #2x#.

Das gibt:

#d/dx[(2x)^(1/2)]=1/2(2x)^(-1/2)(2)#

Die #2#s wird abgebrochen.

#d/dx[(2x)^(1/2)]=(2x)^(-1/2)=1/(2x)^(1/2)=1/sqrt(2x)#

Kettenregel

#d/(du) ln u = 1/u#

#u = 3x, (du)/dx = 3#

#d/(dx) ln 3x = 1/(3x) * 3 = 1/x#

Um das Antiderivativ (oder Integral) zu finden, gibt es einen Trick.

#intsecxdx#

Sie können mit multiplizieren #(secx + tanx)/(secx + tanx)#.

#= int(secx(secx + tanx))/(secx + tanx)dx#

#= int(sec^2x + secxtanx)/(secx + tanx)dx#

Wenn Sie jetzt lassen:
#u = secx + tanx#
#du = secxtanx + sec^2xdx#

dann bekommst du:

#= int1/udu#

#= ln|u| + C#

#= ln|secx + tanx| + C#

es ist wichtig, sich daran zu erinnern

#d/dx(e^x)=e^x#

Lassen Sie uns also sehen, was passiert, wenn wir die gegebene Funktion differenzieren

#y=e^(-2x)#

#u=-2x=>(du)/(dx)=-2#

#y=e^u=>(dy)/(du)=e^u#

bis zum Kettenregel haben wir:

#(dy)/(dx)=(dy)/(du)xx(du)/(dx)#

geben uns

#(dy)/(dx)=e^uxx-2e^(-2x)=-2e^(-2x)#

Jetzt ist Integration die Umkehrung der Differenzierung. Vergleichen Sie also, was wir nach der Differenzierung haben, und die Funktion, die uns zur Integration gegeben wird.

wir müssen die Funktion durch eine geeignete Konstante einstellen, um die zu löschen #" -2#

#inte^(-2x)dx=-1/2e^(-2x)+C#

Wenn Sie jetzt die resultierende Funktion differenzieren, sehen Sie, dass sie die ursprüngliche Funktion ergibt.

Betrachten Sie die Seite des Quadrats als Funktion der Zeit #l(t)# so:

So lösen Sie das Problem mit den zugehörigen Wechselkursen:

Lassen #y# = die Höhe des Ballons und lassen #theta# = der Höhenwinkel.
Uns wird das gesagt #(dy)/(dt)=8# ft / sec.
Wir werden gebeten zu finden #(d theta)/(dt)# wann #y=25# ft.

Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit base = 60 ft (das ändert sich nicht), height #y# und Winkel entgegengesetzte Höhe #theta#.

Dann # tan theta = y/60# und #y=60 tan theta#.

Unterscheidung in Bezug auf #t# gibt uns:

#d/(dt)(y)=d/(dt)(60 tan theta)#.

#(dy)/(dt) = 60 sec^2 theta (d theta)/ (dt)#.

Wir werden gebeten zu finden #(d theta)/(dt)# wann #y=25#.

Wir haben: #8= 60 sec^2 theta (d theta)/ (dt)#, damit

#(d theta)/ (dt)=8/60 cos^2 theta = 2/15 cos^2 theta#.

Wir brauchen #cos theta# wann #y=25#.
Mit base = 60 und height = 25 bekommen wir Hypotneuse #c= sqrt (60^2 + 25^2) = sqrt ((5*12)^2+(5*5)^2)=5sqrt ((12)^2+(5)^2) = 5*13 = 65#.

Also, wann #y=25#, wir haben: #cos theta = 60/65=12/13#.

So
#(d theta)/ (dt) = 2/15 cos^2 theta= 2/15 (12/13)^2 = 96/845# Bogenmaß / Sek

.
(Denken Sie daran, um zu verwenden #d/(d theta)(tan theta) = sec^2 theta#, Wir müssen haben #theta# entweder eine reelle Zahl oder das Bogenmaß (nicht Grad) eines Winkels.)

Um diese Frage zu beantworten, müssen Sie das wissen #lim_{x to +infty} e^x=+infty# und #lim_{x to +infty} arctan x=pi/2# von der stuy von #e^x# (sehen Exponentialfunktionen ) und von #arctan x# (sehen inverser Kosinus und inverse Tangente ).

So wie #x to infty#, #e^x to infty# so dass, zu lassen #t=e^x# Wir haben
#lim_{x to infty} arctan(e^x)=lim_{t to infty} arctan(t)=pi/2#.