Ein Ballon steigt mit einer Geschwindigkeit von 8 ft / sec von einem Punkt auf dem Boden 60 ft vom Beobachter entfernt auf. Wie ermitteln Sie die Änderungsrate des Höhenwinkels, wenn sich der Ballon 1 m über dem Boden befindet?

So lösen Sie das Problem mit den zugehörigen Wechselkursen:

Lassen #y# = die Höhe des Ballons und lassen #theta# = der Höhenwinkel.
Uns wird das gesagt #(dy)/(dt)=8# ft / sec.
Wir werden gebeten zu finden #(d theta)/(dt)# wann #y=25# ft.

Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit base = 60 ft (das ändert sich nicht), height #y# und Winkel entgegengesetzte Höhe #theta#.

Dann # tan theta = y/60# und #y=60 tan theta#.

Unterscheidung in Bezug auf #t# gibt uns:

#d/(dt)(y)=d/(dt)(60 tan theta)#.

#(dy)/(dt) = 60 sec^2 theta (d theta)/ (dt)#.

Wir werden gebeten zu finden #(d theta)/(dt)# wann #y=25#.

Wir haben: #8= 60 sec^2 theta (d theta)/ (dt)#, damit

#(d theta)/ (dt)=8/60 cos^2 theta = 2/15 cos^2 theta#.

Wir brauchen #cos theta# wann #y=25#.
Mit base = 60 und height = 25 bekommen wir Hypotneuse #c= sqrt (60^2 + 25^2) = sqrt ((5*12)^2+(5*5)^2)=5sqrt ((12)^2+(5)^2) = 5*13 = 65#.

Also, wann #y=25#, wir haben: #cos theta = 60/65=12/13#.

So
#(d theta)/ (dt) = 2/15 cos^2 theta= 2/15 (12/13)^2 = 96/845# Bogenmaß / Sek

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(Denken Sie daran, um zu verwenden #d/(d theta)(tan theta) = sec^2 theta#, Wir müssen haben #theta# entweder eine reelle Zahl oder das Bogenmaß (nicht Grad) eines Winkels.)

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