Was ist die McLaurin-Reihe von #f (x) = sinh (x)?

Wir können die McLaurin-Reihe für ableiten #sinh(x)# von der einen zur Exponentialfunktion: wie für jeden #n#:

#[(d^n)/(dx^n) e^x ]_(x=0) = e^0=1#

die Mc Laurin Serie für #e^x# ist:

#e^x=sum_(n=0)^oo x^n/(n!)#

Jetzt als:

#sinhx = (e^x-e^(-x))/2#

Wir haben:

#sinhx = 1/2[sum_(n=0)^oo x^n/(n!)-sum_(n=0)^oo (-x)^n/(n!)]#

und es ist leicht zu sehen, dass für #n# Auch die Bedingungen sind gleich und stornieren sich gegenseitig, sodass nur die ungeraden Bestellbedingungen übrig bleiben:

#sinhx = 1/2[sum_(k=0)^oo x^(2k+1)/((2k+1)!)-sum_(k=0)^oo (-1)^(2k+1)x^(2k+1)/((2k+1)!)] = 1/2[sum_(k=0)^oo x^(2k+1)/((2k+1)!)+sum_(k=0)^oo x^(2k+1)/((2k+1)!)] = sum_(k=0)^oo x^(2k+1)/((2k+1)!)#

Wir können die gleiche Schlussfolgerung direkt ziehen und feststellen, dass:

#d/(dx) sinhx = coshx#

#d^2/(dx^2) sinhx = d/(dx)coshx = sinhx#

damit alle Ableitungen ungerader Ordnung gleich sind #coshx# und alle Ableitungen gleicher Ordnung sind gleich #sinhx#

Aber #sinh(0) = 0# und #cosh(0) = 1# das gleiche Ergebnis zu erzielen.