Was ist die McLaurin-Reihe von #f (x) = sinh (x)?

Antworten:

$sinh x = \infty \sum k = 0 \frac{x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!}$ $sinhx =sum_(k=0)^oo x^(2k+1)/((2k+1)!)$

Erläuterung:

Wir können die McLaurin-Reihe für ableiten $sinh (x)$ $sinh(x)$ von der einen zur Exponentialfunktion: wie für jeden $n$ $n$ :

${[\frac{d^{n}}{{d x}^{n}} e^{x}]}_{x = 0}^{x} = e^{0} = 1$ $[(d^n)/(dx^n) e^x ]_(x=0) = e^0=1$

die Mc Laurin Serie für $e^{x}$ $e^x$ ist:

$e^{x} = \infty \sum n = 0 \frac{x^{n}}{n!}$ $e^x=sum_(n=0)^oo x^n/(n!)$

Jetzt als:

$sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ $sinhx = (e^x-e^(-x))/2$

Wir haben:

$sinh x = \frac{1}{2} [\infty \sum n = 0 \frac{x^{n}}{n!} - \infty \sum n = 0 \frac{{(- x)}^{n}}{n!}]$ $sinhx = 1/2[sum_(n=0)^oo x^n/(n!)-sum_(n=0)^oo (-x)^n/(n!)]$

und es ist leicht zu sehen, dass für $n$ $n$ Auch die Bedingungen sind gleich und stornieren sich gegenseitig, sodass nur die ungeraden Bestellbedingungen übrig bleiben:

$sinh x = \frac{1}{2} [\infty \sum k = 0 \frac{x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!} - \infty \sum k = 0 {(- 1)}^{2 k + 1} \frac{x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!}] = \frac{1}{2} [\infty \sum k = 0 \frac{x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!} + \infty \sum k = 0 \frac{x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!}] = \infty \sum k = 0 \frac{x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!}$ $sinhx = 1/2[sum_(k=0)^oo x^(2k+1)/((2k+1)!)-sum_(k=0)^oo (-1)^(2k+1)x^(2k+1)/((2k+1)!)] = 1/2[sum_(k=0)^oo x^(2k+1)/((2k+1)!)+sum_(k=0)^oo x^(2k+1)/((2k+1)!)] = sum_(k=0)^oo x^(2k+1)/((2k+1)!)$

Wir können die gleiche Schlussfolgerung direkt ziehen und feststellen, dass:

$\frac{d}{d x} sinh x = cosh x$ $d/(dx) sinhx = coshx$

$\frac{d^{2}}{{d x}^{2}} sinh x = \frac{d}{d x} cosh x = sinh x$ $d^2/(dx^2) sinhx = d/(dx)coshx = sinhx$

damit alle Ableitungen ungerader Ordnung gleich sind $cosh x$ $coshx$ und alle Ableitungen gleicher Ordnung sind gleich $sinh x$ $sinhx$

Aber $sinh (0) = 0$ $sinh(0) = 0$ und $cosh (0) = 1$ $cosh(0) = 1$ das gleiche Ergebnis zu erzielen.