Wie verwendet man ein Integral, um das Volumen eines festen Torus zu bestimmen?

Wenn der Radius seines kreisförmigen Querschnitts ist $r$ und der Radius des Kreises, der durch die Mitte der Querschnitte gezogen wird, ist $R$ , dann ist das Volumen des Torus $V=2pi^2r^2R$ .

Angenommen, der Torus wird durch Drehen des kreisförmigen Bereichs erhalten $x^2+(y-R)^2=r^2$ über die $x$ -Achse. Beachten Sie, dass dieser kreisförmige Bereich der Bereich zwischen den Kurven ist: $y=sqrt{r^2-x^2}+R$ und $y=-sqrt{r^2-x^2}+R$ .

Mit der Waschmethode kann das Volumen des Rotationskörpers wie folgt ausgedrückt werden:
$V=pi int_{-r}^r[(sqrt{r^2-x^2}+R)^2-(-sqrt{r^2-x^2}+R)^2]dx$ ,
was vereinfacht:
$V=4piRint_{-r}^r sqrt{r^2-x^2}dx$
Da das obige Integral der Fläche eines Halbkreises mit dem Radius r entspricht, haben wir
$V=4piRcdot1/2pi r^2=2pi^2r^2R$