Wie verwendet man die Differenzierung, um eine Potenzreihendarstellung für $f (x) = 1 / (1 + x) ^ 2$ zu finden?

Beachten Sie zunächst, dass $frac{1}{(1+x)^2}=(1+x)^(-2)=frac{d}{dx}(-(1+x)^{-1})=frac{d}{dx}(-frac{1}{1-(-x)})$ .

Verwenden Sie nun die Power Series-Erweiterung $frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+cdots$ konvergiert für $|x|<1$ Alles multiplizieren mit $-1$ und ersetzen Sie alle " $x$ ist "mit" $-x$ ist zu bekommen

$-frac{1}{1-(-x)}=-1+x-x^2+x^3-x^4+cdots$ konvergiert für $|-x|<1 Leftrightarrow |x|<1$ .

Zuletzt differenzieren Sie diesen Begriff nach dem Begriff (der im Inneren des Konvergenzintervalls gerechtfertigt ist), um zu erhalten

$frac{1}{(1+x)^{2}}=frac{d}{dx}(-1+x-x^2+x^3-x^4+cdots)$

$=1-2x+3x^{2}-4x^{3}+cdots$ .

Dies konvergiert auch für $|x|<1$ .

Wie verwendet man die Differenzierung, um eine Potenzreihendarstellung für f (x) = 1 / (1 + x) ^ 2 f (x) = 1 / (1 + x) ^ 2 zu finden?

Wie verwendet man die Differenzierung, um eine Potenzreihendarstellung für $f (x) = 1 / (1 + x) ^ 2$ zu finden?