Wie schätzen Sie die augenblickliche Änderungsrate an einem Punkt ein?

Zur Abschätzung des Augenblicks Änderungsrate einer Funktion Zeichnen Sie an einem Punkt eine Linie zwischen zwei Punkten ("Referenzpunkten") sehr nahe an Ihrem gewünschten Punkt und bestimmen Sie die Steigung dieser Linie. Sie können die Genauigkeit Ihrer Schätzung verbessern, indem Sie Referenzpunkte auswählen, die näher an Ihrem gewünschten Punkt liegen.

Text In dieser Erklärung gehe ich davon aus, dass der Leser das Kalkülkonzept von kennt und damit vertraut ist Grenzen. Für diejenigen, die es nicht sind, ist ein Link zu einer Website mit einer meiner Meinung nach guten Erklärung des Konzepts unten aufgeführt.

http://www.mathsisfun.com/calculus/limits.html

Außerdem ist hier ein Video, das ich vor einigen Jahren gemacht habe und das versucht, Grenzen und Ableitungen in Laienbegriffen klar und prägnant zu erklären. Bei der zweiten 0: 05-Marke ist ein kurzer Lautstärkeschub zu verzeichnen, der die Zuschauer aufrütteln könnte.

Wenn Sie eine schriftliche Erklärung bevorzugen, lesen Sie weiter.
Endnote

Beim Betrachten eines Funktionsgraphen #f(x)#kann man die Änderungsrate über ein gegebenes Intervall von grafisch darstellen #x#. Zum Beispiel, wenn ich sage, dass ich im Verlauf von 3 Minuten eine Strecke von 30 Meilen zurückgelegt habe, da wir meine kennen Durchschnittsgeschwindigkeit Wird meine zurückgelegte Strecke durch die Zeit geteilt, die ich gebraucht habe, berechnen wir, dass meine Durchschnittsgeschwindigkeit 0.1 Meilen pro Minute oder 6 Meilen pro Stunde beträgt. In diesem Fall haben wir die Formel verwendet

#v_[a,b] = [(f(b)-f(a))/(b-a)]#

um die Durchschnittsgeschwindigkeit zu berechnen #v# meiner Distanzfunktion mit #a=0, f(a) = 0, b=30, f(b)=3.#

In einem mathematischen Diagramm wäre, wenn meine Entfernung als Funktion der Zeit eine Kurve wäre, dieser Wert die Steigung von a Sekantenlinie die die Kurve an unseren beiden Referenzpunkten schneidet (meine Startentfernung von 0 bei 0 Minuten und meine letzte von 3 Meilen bei 30 Minuten). Wenn meine tatsächliche Geschwindigkeit während des gesamten Laufs konstant bei 0.1 Meilen pro Minute war, ist diese Sekantenlinie mit meiner Distanzfunktion identisch.

Wenn jedoch meine Geschwindigkeit überhaupt schwankt, ist der Abstand eine Kurve im Gegensatz zu einer Linie, und die Sekante ist nicht identisch mit meiner Abstandsfunktion, obwohl sie sich zumindest noch an meinen beiden Bezugspunkten (dem Anfang und dem Ende) schneidet Ende meines Laufs in diesem Fall). In diesem Fall kann ich meine genaue Geschwindigkeit an diesem Punkt besser einschätzen, indem ich eine Sekantenlinie mit Bezugspunkten wähle, die näher an meinem Zielpunkt liegen.

Als Übung nehme ich an, dass ich Ihnen die augenblickliche Änderungsrate der Funktion sage #f(x) = x^3 -1# am Punkt #x=2# ist 12. Sie können dies anhand von Intervallen unterschiedlicher Größe abschätzen. Versuchen Sie in diesem Fall zuerst das Intervall #[-1,5]# gefolgt von der Pause #[0,4]# und dann das Intervall #[1,3]#. Sie sollten beachten, dass sich Ihre Schätzung mit abnehmendem Intervall dem tatsächlichen Wert von 12 nähert!

Zitate:

Pierce, Rod. "Grenzen (Eine Einführung)" Mathe macht Spaß. Ed. Rod Pierce. 13 Jan 2014. 11 Aug 2014 http://www.mathsisfun.com/calculus/limits.html