Wie kann man #sin (x) cos (x) # integrieren?

Antworten:

Abhängig von Ihrer Route sind folgende Ergebnisse gültig:

  • #sin^2(x)/2+C#
  • #-cos^2(x)/2+C#
  • #-1/4cos(2x)+C#

Erläuterung:

Es gibt eine Vielzahl von Methoden, die wir anwenden können:

Substitution mit Sinus:

Lassen #u=sin(x)#. Dies impliziert das #du=cos(x)dx#.

So:

#intunderbrace(sin(x))_uoverbrace(cos(x)dx)^(du)=intudu=u^2/2+C=color(blue)(sin^2(x)/2+C#

Substitution mit Cosinus:

Lassen #u=cos(x)#, damit #du=-sin(x)dx#.

Deshalb:

#intsin(x)cos(x)dx=-intunderbrace(cos(x))_uoverbrace((-sin(x))dx)^(du)=-intudu=-u^2/2+C#

#=color(blue)(-cos^2(x)/2+C#

Kurzes Zwischenspiel:

Sie fragen sich vielleicht, warum diese beiden Antworten gültig sind?

Beachten Sie, dass:

#sin^2(x)/2+C=(1-cos^2(x))/2+C=-cos^2(x)/2+1/2+C#

Allerdings ist die #1/2# wird absorbiert in #C# as #C# repräsentiert eine beliebige Konstante:

#=-cos^2(x)/2+C#

Eine weitere Methode zur Vereinfachung:

Wir werden die Identität verwenden #sin(2x)=2sin(x)cos(x)#. Somit, #sin(x)cos(x)=sin(2x)/2#.

#intsin(x)cos(x)dx=intsin(2x)/2dx=1/2intsin(2x)dx#

Von hier aus lassen #u=2x# damit #du=2dx#.

#=1/4intsinunderbrace((2x))_u overbrace((2)dx)^(du)=1/4intsin(u)du=-1/4cos(u)+C= color(blue)(-1/4cos(2x)+C#

Sie können anhand der Identität auch zeigen, dass dies den beiden anderen Antworten entspricht #cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)#.

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