Wie kann man $sin (x) cos (x)$ integrieren?

Abhängig von Ihrer Route sind folgende Ergebnisse gültig:

Es gibt eine Vielzahl von Methoden, die wir anwenden können:

Substitution mit Sinus:

Lassen $u=sin(x)$ . Dies impliziert das $du=cos(x)dx$ .

So:

$intunderbrace(sin(x))_uoverbrace(cos(x)dx)^(du)=intudu=u^2/2+C=color(blue)(sin^2(x)/2+C$

Substitution mit Cosinus:

Lassen $u=cos(x)$ , damit $du=-sin(x)dx$ .

Deshalb:

$intsin(x)cos(x)dx=-intunderbrace(cos(x))_uoverbrace((-sin(x))dx)^(du)=-intudu=-u^2/2+C$

$=color(blue)(-cos^2(x)/2+C$

Kurzes Zwischenspiel:

Sie fragen sich vielleicht, warum diese beiden Antworten gültig sind?

Beachten Sie, dass:

$sin^2(x)/2+C=(1-cos^2(x))/2+C=-cos^2(x)/2+1/2+C$

Allerdings ist die $1/2$ wird absorbiert in $C$ as $C$ repräsentiert eine beliebige Konstante:

$=-cos^2(x)/2+C$

Eine weitere Methode zur Vereinfachung:

Wir werden die Identität verwenden $sin(2x)=2sin(x)cos(x)$ . Somit, $sin(x)cos(x)=sin(2x)/2$ .

$intsin(x)cos(x)dx=intsin(2x)/2dx=1/2intsin(2x)dx$

Von hier aus lassen $u=2x$ damit $du=2dx$ .

$=1/4intsinunderbrace((2x))_u overbrace((2)dx)^(du)=1/4intsin(u)du=-1/4cos(u)+C= color(blue)(-1/4cos(2x)+C$

Sie können anhand der Identität auch zeigen, dass dies den beiden anderen Antworten entspricht $cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)$ .

Wie kann man sin (x) cos (x) sin (x) cos (x) integrieren?