Wie kann man die Taylor-Erweiterung von #ln (1-x) # über x = 0 finden?

Beachten Sie, dass #frac{d}{dx}(ln(1-x)) = frac{-1}{1-x}#, #x<1#.

Sie können ausdrücken #frac{-1}{1-x}# als Potenzreihe mit Binomialerweiterung (z #x# in der Nähe von Null).

#frac{-1}{1-x} = -(1-x)^{-1}#

#= -( 1 + x + x^2 + x^3 + ... )#

Um die Maclaurin-Serie von zu bekommen #ln(1-x)#, integriere das obige "Polynom". Sie erhalten

#ln(1-x) = - x - x^2/2 - x^3/3 - x^4/4 - ...#