Wie ist die Wellengeschwindigkeit einer Saite mit der Berechnung der Geschwindigkeit unter Verwendung der Kinematik identisch?

Es kann so sein

#v = sqrt(F_T/μ)#

#v = lamdaf" "#Diese Gleichung ist mit der früheren Gleichung verwandt

#f = 1/"time required to cover a wavelength"#

#lamda = "wavelength"#

#therefore v = 1/"time required to cover a wavelength" * "wavelength"#

#v = (cancel"(wave)" "length")/("time required to cover" cancel("a wave")"length")#

#therefore v = "length"/"time"#

Die Geschwindigkeit der Welle entspricht der Geschwindigkeit der Welle, da sich stehende Wellen nur in eine Richtung bewegen.

Um dies zu verstehen, müssen wir ableiten

#sqrt(F_T/u) = ω/k#

Angenommen, eine Zeichenfolge mit einer Masse pro Längeneinheit ist μ. Es wird durch eine Spannung T gedehnt, die viel größer als das Gewicht der Saite ist und deren Gleichgewichtsposition entlang der x-Achse liegt. Dieses Diagramm zeigt einen kurzen Abschnitt der in x-Richtung gedehnten Saite und die darauf einwirkenden Kräfte. Unsere Analyse gilt nur für kleine Verformungen, bei denen die Saite ein lineares Medium ist, und wir vernachlässigen die auf die Saite einwirkende Gravitationskraft (die auf jeden Fall konstant ist).

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Eine Folge dieser Beschränkung auf kleine Verformungen ist, dass der Winkel & thgr; zwischen der Zeichenkette und der x-Richtung viel kleiner als 1 ist #sin θ ≅ θ and cos θ ≅ 1#. (In unserem Diagramm wurde die Verformung jedoch zur Verdeutlichung übertrieben dargestellt.) Daraus folgt auch, dass die Länge des gezeigten Segments dx ist.

Wenden wir das zweite Newtonsche Gesetz in vertikaler y-Richtung an:

#F_y = ma_y#
Die Summe der Kräfte in y-Richtung ist
#F_y = T sin θ2 − T sin θ1.#

Unter Verwendung der Annäherung mit kleinem Winkel ist sin θ θ tan θ = ∂y / ∂x. Also können wir schreiben:

#F_y = T((∂y)/(∂x))_2 - T((∂y)/(∂x))_1#

Die Gesamtkraft hängt also von der Steigungsdifferenz zwischen den beiden Enden ab: Wenn die Saite gerade wäre, würden sich die beiden Kräfte unabhängig von ihrer Steigung zu Null addieren. Nun wollen wir quantitativ werden. Die Masse pro Längeneinheit ist μ, also ihre Masse #dm = μdx#. Die Beschleunigung in y-Richtung ist also die Änderungsrate der y-Geschwindigkeit

#a_y = (∂v_y)/(∂t) = ( ∂y^2)/(∂t^2)#.

Wir können also Newtons zweites Gesetz in y-Richtung schreiben als

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Neuordnung gibt dies

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Jetzt haben wir den Index 1 verwendet, um die Position x zu identifizieren, und 2, um die Position zu identifizieren #(x+dx)#. Der Zähler im letzten Term auf der rechten Seite ist also die Differenz zwischen den (ersten) Ableitungen an diesen beiden Punkten. Wenn wir es durch teilen #dx#erhalten wir die Änderungsrate der ersten Ableitung in Bezug auf #x#Dies ist per Definition die zweite Ableitung. Wir haben also die Wellengleichung abgeleitet:

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Die Beschleunigung (links) ist also proportional zur Spannung T und umgekehrt proportional zur Masse pro Längeneinheit μ. Es ist auch proportional zu #(∂y^2)/(∂x^2)#. Die stärkere Krümmung der Saite bewirkt also eine stärkere Beschleunigung, und wie wir gesehen haben, wird ein gerader Abschnitt nicht beschleunigt. Dies ist die Wellengleichung in einer Dimension. Jetzt ist es Zeit, es zu lösen.

Eine Lösung der Wellengleichung

Dies ist eine partielle Differentialgleichung. Eine der beliebtesten Techniken ist jedoch: Wählen Sie eine wahrscheinliche Funktion, testen Sie, ob es sich um eine Lösung handelt, und ändern Sie sie gegebenenfalls. Verwenden wir also das, was wir bereits wissen. Wir wissen, dass sich Sinuswellen in einem eindimensionalen Medium wie eine Kette ausbreiten können. Und wir wissen, dass jede Funktion #f(x − vt)# ist eine Welle, die sich mit der Geschwindigkeit v bewegt. Im ersten Kapitel über Wanderwellen haben wir gesehen, dass eine elegante Version des allgemeinen Ausdrucks für eine Sinuswelle ist, die sich in der positiven x-Richtung bewegt# y = A sin (kx − ωt + φ)#. Eine geeignete Wahl der x- oder t-Achse ermöglicht es uns, φ auf Null zu setzen. Schauen wir uns also die Gleichung an

#"y" = "A sin"(kx - ωt)#

um zu sehen, ob und wann dies eine Lösung für die Welle ist

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Wenn wir die partielle Ableitung in Bezug auf t nehmen, halten wir x konstant und umgekehrt. Wenn wir uns also daran erinnern, dass die Ableitung von Sinus cos und die Ableitung von cos minus sinus ist, können wir die ersten beiden partiellen Ableitungen in Bezug auf t und x wie folgt schreiben:

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Wellengeschwindigkeit in einer gestreckten Saite

Wir haben also gesehen, dass die zweiten partiellen Ableitungen die richtige Form haben, was bedeutet, dass wir auf dem richtigen Weg sind. Eine Lösung zu sein

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die partiellen Ableitungen

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#ω/k = sqrt(F_T/μ)#

Um zu verstehen, woher diese Gleichung kommt, betrachten Sie eine grundlegende Sinuswelle,# A cos (kx−ωt)#. Nach der Zeit t hat die Quelle ωt / 2π = ft Schwingungen erzeugt#(omega = 2pif)#. Nach der gleichen Zeit hat sich die anfängliche Wellenfront von der Quelle weg durch den Raum zum Abstand x ausgebreitet, um der gleichen Anzahl von Oszillationen zu entsprechen, kx = & ohgr; t.

Somit ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit v #v = x/t= ω/k#. Die Welle breitet sich schneller aus, wenn höherfrequente Schwingungen weniger dicht im Raum verteilt sind. [2] #Φ = kx−ωt# ist die Phase. Schon seit #ω = (−dΦ)/(dt)# und #k = (+dΦ)/(dx)#ist die Wellengeschwindigkeit #v = (dx)/(dt) = ω/k#

Und wie

#k = 2pie" "e = 1/lamda#

Wobei e die Ortsfrequenz ist

#k = (2pi)/lamda#

Deshalb

#w/(2pi)/lamda = f/lamda#

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