Wie integriere ich arc sin x dx?

Wir werden fortfahren mit Integration durch Substitution und Integration in Teilstücken.

Auswechslung:

Lassen #t = arcsin(x) => x = sin(t)# und #dx = cos(t)dt#

Dann haben wir ersetzt

#intarcsin(x)dx = inttcos(t)dt#

Integration in Teilstücken:

Lassen #u = t# und #dv = cos(t)dt#

Dann #du = dt# und #v = sin(t)#

Durch die Integration von Teilen Formel #intudv = uv - intvdu#

#inttcos(t)dt = tsin(t)-intsint(t)dt#

#=tsint(t)-(-cos(t)+C)#

#=tsin(t)+cos(t)+C#

#=arcsin(x)*sin(arcsin(x))+cos(arcsin(x))+C#

As #sin(arcsin(x)) = x# und #cos(arcsin(x)) = sqrt(1-x^2)#

Versuchen Sie, ein rechtwinkliges Dreieck zu zeichnen #sin(theta)=x# und berechnen #cos(theta)# die zweite Gleichheit erhalten)

Wir erhalten unser Endergebnis:

#intarcsin(x)dx = xarcsin(x)+sqrt(1-x^2)+C#