Wie integriere ich arc sin x dx?

$intarcsin(x)dx = xarcsin(x)+sqrt(1-x^2)+C$

Auswechslung:

Lassen $t = arcsin(x) => x = sin(t)$ und $dx = cos(t)dt$

Dann haben wir ersetzt

$intarcsin(x)dx = inttcos(t)dt$

Lassen $u = t$ und $dv = cos(t)dt$

Dann $du = dt$ und $v = sin(t)$

Durch die Integration von Teilen Formel $intudv = uv - intvdu$

$inttcos(t)dt = tsin(t)-intsint(t)dt$

$=tsint(t)-(-cos(t)+C)$

$=tsin(t)+cos(t)+C$

$=arcsin(x)*sin(arcsin(x))+cos(arcsin(x))+C$

As $sin(arcsin(x)) = x$ und $cos(arcsin(x)) = sqrt(1-x^2)$

Versuchen Sie, ein rechtwinkliges Dreieck zu zeichnen $sin(theta)=x$ und berechnen $cos(theta)$ die zweite Gleichheit erhalten)

Wir erhalten unser Endergebnis:

$intarcsin(x)dx = xarcsin(x)+sqrt(1-x^2)+C$