Dezember 16, 2019

von Lizabeth

Wie findet man eine Formel für die Summe n Terme $n \sum i = 1 (1 + \frac{i}{n}) (\frac{2}{n})$ $sum_ (i = 1) ^ n (1 + i / n) (2 / n)$ und findet dann die Grenze als $n \to \infty$ $n-> oo$ ?

Antworten:

$n \sum i = 1 (1 + \frac{i}{n}) (\frac{2}{n}) = \frac{3 n + 1}{n}$ $sum_(i=1)^n (1+i/n)(2/n) = (3n+1)/n$

$lim_(n rarr oo)sum_(i=1)^n (1+i/n)(2/n) = 3$

Erläuterung:

Let $S_n = sum_(i=1)^n (1+i/n)(2/n)$
$:. S_n = sum_(i=1)^n (2/n+(2i)/n^2)$
$:. S_n = 2/n sum_(i=1)^n (1) + 2/n^2 sum_(i=1)^n (i)$

Und unter Verwendung der Standardergebnisse:

$sum_(r=1)^n r = 1/2n(n+1)$

Wir haben;

$S_n = 2/n(n)+2/n^2*1/2n(n+1)$
$:. S_n = 2+(n+1)/n$
$:. S_n = ((2n)+(n+1))/n$
$:. S_n = (3n+1)/n$

Nun untersuchen wir das Verhalten von $S_n$ as $n rarr oo$ .
Wir haben;

$S_n = (3n+1)/n$
$:. S_n = 3+1/n$
$:. lim_(n rarr oo)S_n = lim_(n rarr oo) { 3+1/n }$
$:. lim_(n rarr oo)S_n = lim_(n rarr oo) (3) - lim_(n rarr oo)(1/n)$

Und wie $1/n rarr 0$ as $n rarr oo$ , wir haben;

$:. lim_(n rarr oo)S_n = 3$