Wie findet man eine Formel für die Summe n Terme sum_ (i = 1) ^ n (1 + i / n) (2 / n) ni=1(1+in)(2n) und findet dann die Grenze als n-> oo n?

Antworten:

sum_(i=1)^n (1+i/n)(2/n) = (3n+1)/n ni=1(1+in)(2n)=3n+1n

lim_(n rarr oo)sum_(i=1)^n (1+i/n)(2/n) = 3

Erläuterung:

Let S_n = sum_(i=1)^n (1+i/n)(2/n)
:. S_n = sum_(i=1)^n (2/n+(2i)/n^2)
:. S_n = 2/n sum_(i=1)^n (1) + 2/n^2 sum_(i=1)^n (i)

Und unter Verwendung der Standardergebnisse:

sum_(r=1)^n r = 1/2n(n+1)

Wir haben;

S_n = 2/n(n)+2/n^2*1/2n(n+1)
:. S_n = 2+(n+1)/n
:. S_n = ((2n)+(n+1))/n
:. S_n = (3n+1)/n

Nun untersuchen wir das Verhalten von S_n as n rarr oo .
Wir haben;

S_n = (3n+1)/n
:. S_n = 3+1/n
:. lim_(n rarr oo)S_n = lim_(n rarr oo) { 3+1/n }
:. lim_(n rarr oo)S_n = lim_(n rarr oo) (3) - lim_(n rarr oo)(1/n)

Und wie 1/n rarr 0 as n rarr oo, wir haben;

:. lim_(n rarr oo)S_n = 3