Wie findet man die Taylor-Reihe für #ln (x) # über den Wert x = 1?

Zunächst betrachten wir die Formel für die Taylor-Reihe, die lautet:

#f(x) = sum_(n=0)^oo f^((n))(a)/(n!)(x-a)^n #

was gleich ist:

#f(a) + f'(a)(x-a) + (f''(a)(x-a)^2)/(2!) + (f'''(a)(x-a)^3)/(3!) + ... #

Sie möchten also nach ... lösen #f(x) = ln(x)# at #x=1# was ich meine zentriert auf #1# aus denen du machen würdest #a=1#

Lösen:

#f(x) = ln(x)# und #f(1) = ln(1) = 0#

#f'(x) = 1/x# und #f'(1) = 1/1 = 1#

#f''(x) = -1/x^2# und #f''(1) = -1/(1)^2 = -1#

#f^((3))(x) = 2/x^3# und #f^((3))(1) = 2/(1)^3 = 2#

#f^((4))(x) = -((2)(3))/x^4# und #f^((4))(1) = -((2)(3))/(1)^4 = -(2)(3)#

Wo wir jetzt schon sehen können, wie sich ein Muster bildet, beginnen wir mit der Verwendung unserer Formel (2):

#0 + 1(x-1) - (1(x-1)^2)/(2!) + (2(x-1)^3)/(3!) - ((2)(3)(x-1)^4)/(4!) .....#

und nun versuch mal zu sehen, wie wir dies als eine Reihe schreiben können, die wir bekommen: (wir werden n = 1 starten, da unser erstes Semester 0 ist)

#f(x) = ln(x) = sum_(n=1)^oo (-1)^(n-1) (((n-1)!)(x-1)^n)/(n!) #

Was kann dann zu vereinfachen:

#f(x) = ln(x) = sum_(n=1)^oo (-1)^(n-1) (x-1)^n/n#

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