Wie findet man die Taylor-Reihe für `ln (x)` über den Wert x = 1?

Zunächst betrachten wir die Formel für die Taylor-Reihe, die lautet:

`f(x) = sum_(n=0)^oo f^((n))(a)/(n!)(x-a)^n`

was gleich ist:

`f(a) + f'(a)(x-a) + (f''(a)(x-a)^2)/(2!) + (f'''(a)(x-a)^3)/(3!) + ...`

Sie möchten also nach ... lösen `f(x) = ln(x)` at `x=1` was ich meine zentriert auf `1` aus denen du machen würdest `a=1`

Lösen:

`f(x) = ln(x)` und `f(1) = ln(1) = 0`

`f'(x) = 1/x` und `f'(1) = 1/1 = 1`

`f''(x) = -1/x^2` und `f''(1) = -1/(1)^2 = -1`

`f^((3))(x) = 2/x^3` und `f^((3))(1) = 2/(1)^3 = 2`

`f^((4))(x) = -((2)(3))/x^4` und `f^((4))(1) = -((2)(3))/(1)^4 = -(2)(3)`

Wo wir jetzt schon sehen können, wie sich ein Muster bildet, beginnen wir mit der Verwendung unserer Formel (2):

`0 + 1(x-1) - (1(x-1)^2)/(2!) + (2(x-1)^3)/(3!) - ((2)(3)(x-1)^4)/(4!) .....`

und nun versuch mal zu sehen, wie wir dies als eine Reihe schreiben können, die wir bekommen: (wir werden n = 1 starten, da unser erstes Semester 0 ist)

`f(x) = ln(x) = sum_(n=1)^oo (-1)^(n-1) (((n-1)!)(x-1)^n)/(n!)`

Was kann dann zu vereinfachen:

`f(x) = ln(x) = sum_(n=1)^oo (-1)^(n-1) (x-1)^n/n`